高中文科数学集合部分整理.doc

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高中文科数学集合部分整理

（1）集合的概念

把某些特定的对象集在一起就叫做集合.

★

（2）常用数集及其记法

自然数集，或正整数集，

整数集，有理数集，实数集.

（3）集合与元素间的关系

对象与集合的关系是，或者，两者必居其一.

（4）集合的表示法

①自然语言法：

用文字叙述的形式来描述集合.

②列举法：

把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.

③描述法：

{|具有的性质}，其中为集合的代表元素.

④图示法：

用数轴或韦恩图来表示集合.

（5）集合的分类

①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集（）.

（6）子集、真子集、集合相等

名称

记号

意义

性质

示意图

子集

（或

A中的任一元素都属于B

（1）AA

（2）

（3）若且，则

（4）若且，则

或

真子集

AB

（或BA）

，且B中至少有一元素不属于A

（1）（A为非空子集）

（2）若且，则

集合

相等

A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A

（1）AB

（2）BA

（7）已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集.

1、用适当的符号填空：

；；；

2、已知数集，数集，且，求的值

3、请将集合用列举法表示出来．

4、若，则；若则

5、设集合，则

6、已知集合有个元素，则集合的子集个数有个，真子集个数有个

7、已知集合为实数。

（1）若是空集，求的取值范围；

（2）若是单元素集，求的取值范围；

（3）若中至多只有一个元素，求的取值范围；

6、已知集合

（1）若，求实数的取值范围。

（2）若，求实数的取值范围。

（3）若，求实数的取值范围。

7、集合，且，则的范围是

8、已知为实数集，集合.若，或，求集合B.

解：

（1），或.又，，

可得.

而或，

或

借助数轴可得或.

9、设集合，.

（1）若，求实数a的取值范围；

（2）若，求实数a的取值范围；

（3）若，求实数a的值.

解：

（1）由题意知：

，，.

①当时，得，解得．

②当时，得，解得．

综上，．

（2）①当时，得，解得；

②当时，得，解得．

综上，．

（3）由，则．

命题及逻辑联结词

（二）简易逻辑

1、命题的定义：

可以判断真假的语句叫做命题。

2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：

构成复合命题的形式：

p或q（记作“p∨q”）；p且q（记作“p∧q”）；非p（记作“┑q”）。

3、“或”、“且”、“非”的真值判断

（1）“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反；

（2）“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；

（3）“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真．

4、四种命题的形式：

原命题：

若P则q；逆命题：

若q则p；

否命题：

若┑P则┑q；逆否命题：

若┑q则┑p。

（1）交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；

（2）同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；

（3）交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题．

5、四种命题之间的相互关系：

一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：

（原命题逆否命题）

①原命题为真，它的逆命题不一定为真。

②原命题为真，它的否命题不一定为真。

③原命题为真，它的逆否命题一定为真。

6、如果已知pq那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。

若pq且qp,则称p是q的充要条件，记为p⇔q.

从集合的观点理解充要条件，有以下一些结论：

若集合，则是的充分条件；

若集合，则是的必要条件；

若集合，则是的充要条件．

【例题分析】

1、写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题并判断真假.

（1）平行四边形的对边相等；

（2）设，若，则.

解：

分析：

先将原命题改为“若p则q”，在写出其它三种命题.

（1）

原命题：

若一个四边形是平行四边形，则其两组对边相等；真命题；

逆命题：

若一个四边形的两组对边相等，则这个四边形是平行四边形；真命题；

否命题：

若一个四边形不是平行四边形，则其两组对边至少一组不相等；真命题；

逆否命题：

若一个四边形的两组对边至少一组不相等，则这个四边形不是平行四边形；真命题.

（2）

原命题：

设，若，则；真命题；

逆命题：

设，若，则；假命题；

否命题：

设，若或，则；假命题；

逆否命题：

设，若，则或；真命题.

2、写出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的命题，并判断真假.

（1）p：

2是4的约数，q：

2是6的约数；

（2）p：

方程的两实根的符号相同，q：

方程的两实根的绝对值相等.

解：

分析：

先写出三种形式命题，根据真值表判断真假.

（1）p或q：

2是4的约数或2是6的约数，真命题；

p且q：

2是4的约数且2是6的约数，真命题；

非p：

2不是4的约数，假命题.

（2）p或q：

方程的两实根的符号相同或绝对值相等，假命题；

p且q：

方程的两实根的符号相同且绝对值相等，假命题；

非p：

方程的两实根的符号不同，真命题.

3、用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.

（1）是的___________________条件；

（2）是的___________________条件；

（3）是或的___________________条件.

分析：

从集合观点“小范围大范围”进行理解判断，注意特殊值的使用.

解：

（1）因为结合不等式性质易得，反之不成立，若，，有，但不成立，所以是的充分不必要条件.

（2）因为的解集为，的解集为，故是的必要不充分条件.

（3）原问题等价其逆否形式，即判断“且是的____条件”，故是或的充分不必要条件.

【反馈演练】

1．一般地若用p和q分别表示原命题的条件和结论，则它的逆命题可表示为若q则p，否命题可表示为，逆否命题可表示为；原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题．

2．命题“若，则”的逆否命题是__________________.

3．若命题m的否命题n，命题n的逆命题p，则p是m的____逆否命题____.

4.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.

（1）已知，，那么是的_____充分不必要___条件．

（2）已知两直线平行，内错角相等，那么是的____充要_____条件．

（3）已知四边形的四条边相等，四边形是正方形，那么是的___必要不充分__条件．

5.若，则的一个必要不充分条件是．

6．已知条件，条件．若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

解：

，若是的充分不必要条件，则．

若，则，即；

若，则解得．

综上所述，．

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