高中数学解析几何大题精选.docx

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解析几何大量精选

1.在直角坐标系中，点到点，的距离之和是，点的轨迹是与轴的负半轴交于点，不过点的直线与轨迹交于不同的两点和．

⑴求轨迹的方程；

⑵当时，求与的关系，并证明直线过定点．

【解析】⑴．

⑵将代入曲线的方程，

整理得，

因为直线与曲线交于不同的两点和，

所以①

设，，则，②

且，

显然，曲线与轴的负半轴交于点，

所以，．

由，得．

将②、③代入上式，整理得．

所以，即或．经检验，都符合条件①

当时，直线的方程为．显然，此时直线经过定点点．

即直线经过点，与题意不符．

当时，直线的方程为．

显然，此时直线经过定点点，满足题意．

综上，与的关系是，且直线经过定点

2.已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．

⑴求椭圆的方程；

⑵设，，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点；

⑶在⑵的条件下，过点的直线与椭圆交于，两点，求的取值范围．

【解析】⑴．

⑵由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为．

由得．①

设点，，则．

直线的方程为．

令，得．

将，代入整理，得．②

由①得，代入②整理，得．

所以直线与轴相交于定点．

⑶．

３.设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，分别是椭圆的左、右焦点，且离心率，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点．

⑴　求椭圆的方程；

⑵　是否存在直线，使得．若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．

【解析】⑴．

⑵由题意知，直线与椭圆必有两个不同交点．

①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．

②设存在直线为，且，．

由，得，

，，

，

所以，

故直线的方程为或．

本题直线的方程也可设为，此时一定存在，不能讨论，且计算时数据更简单．

４.如图，椭圆的离心率为轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长．

⑴求的方程；

⑵设与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于点，直线分别与相交与．

①证明：

；

②记的面积分别是．问是否存在直线，使得?

请说明理由．

【解析】⑴．

⑵①由题意知，直线的斜率存在，设为，

则直线的方程为．

由得，

设，则是上述方程的两个实根，于是．

又点的坐标为，

所以，

故，即．

②设直线的斜率为，则直线的方程为，

由，解得或，则点的坐标为．

又直线的斜率为，同理可得点的坐标为．

于是．

由得，

解得或，则点的坐标为；

又直线的斜率为，同理可得点的坐标．

于是．

因此，

由题意知，解得或．

又由点的坐标可知，，所以．

故满足条件的直线存在，且有两条，其方程分别为和．

５.在直角坐标系中，点到点，的距离之和是，点的轨迹是与轴的负半轴交于点，不过点的直线与轨迹交于不同的两点和．

⑴　求轨迹的方程；

⑵　当时，求与的关系，并证明直线过定点．

【解析】⑴．

⑵将代入曲线的方程，

整理得，

因为直线与曲线交于不同的两点和，

所以①

设，，则，②

且，

显然，曲线与轴的负半轴交于点，

所以，．

由，得．

将②、③代入上式，整理得．

所以，即或．经检验，都符合条件①

当时，直线的方程为．显然，此时直线经过定点点．

即直线经过点，与题意不符．

当时，直线的方程为．

显然，此时直线经过定点点，满足题意．

综上，与的关系是，且直线经过定点．