高中数学线面角与线线角例题、习题.doc
《高中数学线面角与线线角例题、习题.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学线面角与线线角例题、习题.doc（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
本资料来源于《七彩教育网》
线面角与线线角
【知识网络】
1、异面直线所成的角：
（1）范围：
；
（2）求法；
2、直线和平面所成的角：
（1）定义：
（2）范围：
；（3）求法；
3、一些常见模型中的角之间的关系。
【典型例题】
例1：
（1）在正方体中，下列几种说法正确的是（）
A、B、C、与成角D、与成角
答案：
D。
解析：
A1C1与AD成45°，D1C1与AB平行，AC1与DC所成角的正切为。
（2）在正方体AC1中，过它的任意两条棱作平面，则能作得与A1B成300角的平面的个数为（）
A、2个B、4个C、6个D、8个
答案：
B。
解析：
平面A1ACC1，平面BB1D1D，平面ABC1D1，平面A1D1CC1。
（3）正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1底面边长是1，侧棱长是，则这个棱柱的侧
面对角线E1D与BC1所成的角是（）
A．90º B．60º C．45º D．30º
答案：
B。
解析将BC1平移到E1F即可。
（4）在空间四边形ABCD中，AB⊥CD，BC⊥DA，那么对角线AC与BD的位置关系是。
答案：
AC⊥BD。
解析：
过A作AH⊥平面BCD，垂足为H，因为CD⊥AB，BC⊥AD，所以CD⊥BH，BC⊥DH，故H为△BCD的垂心，从而BD⊥CH，可得BD⊥AC。
（5）点AB到平面距离距离分别为12，20，若斜线AB与成的角，则AB的长等于_____.
答案：
16或64。
解析：
分A、B在平面α的同侧和异侧进行讨论。
例2：
．如图：
已知直三棱柱ABC—A1B1C1，AB＝AC，F为棱BB1上一点，BF∶FB1＝2∶1，BF＝BC＝2a。
（I）若D为BC的中点，E为AD上不同于
A、D的任意一点，证明EF⊥FC1；
（II）试问：
若AB＝2a，在线段AD上的E
点能否使EF与平面BB1C1C成60°角，为什么？
证明你的结论。
答案：
（I）连结DF，DC ∵三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱，
∴CC1⊥平面ABC，∴平面BB1C1C⊥平面ABC
∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，AD⊥平面BB1C1C
∴DF为EF在平面BB1C1C上的射影，
在△DFC1中，∵DF2＝BF2＋BD2＝5a2，＝＋DC2＝10a2，
＝B1F2＋＝5a2， ∴＝DF2＋，∴DF⊥FC1FC1⊥EF
（II）∵AD⊥平面BB1C1C，∴∠DFE是EF与平面BB1C1C所成的角
在△EDF中，若∠EFD＝60°，则ED＝DFtg60°＝·＝，
A
B
C
D
P
∴＞，∴E在DA的延长线上，而不在线段AD上
故线段AD上的E点不能使EF与平面BB1C1C成60°角。
例3：
如图,四棱锥P-ABCD的底面是AB=2,BC
=的矩形,侧面PAB是等边三角形,且侧面
PAB⊥底面ABCD.
（Ⅰ）证明:
BC⊥侧面PAB;
（Ⅱ）证明:
侧面PAD⊥侧面PAB;
（Ⅲ）求侧棱PC与底面ABCD所成角的大小;
答案：
（Ⅰ）证:
∵侧面PAB⊥底面ABCD,且侧面PAB与底面ABCD的交线是AB,在矩形ABCD中,BC⊥AB，.∴BC⊥侧面PAB.
（Ⅱ）证:
在矩形ABCD中,AD∥BC,BC⊥侧面PAB,∴AD⊥侧面PAB.又AD平面PAD,∴侧面PAD⊥侧面PAB.
（Ⅲ）解:
在侧面PAB内,过点P做PE⊥AB,垂足为E,连结EC,∵侧面PAB与底面ABCD的交线是AB,PE⊥AB,∴PE⊥底面ABCD.于是EC为PC在底面ABCD内的射影.
∴∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成的角.在△PAB和△BEC中,易求得PE=,EC=.在Rt△PEC中,∠PCE=45°.
例4：
设△ABC内接于⊙O，其中AB为⊙O的直径，PA⊥平面ABC。
如图求直线PB和平面PAC所成角的大小.
答案：
【课内练习】
1．若平面外的直线与平面所成的角为，则的取值范围是（）
（A）（B）（C）（D）
答案：
D。
解析：
a和α平行，a和α斜交。
2．在正方体ABCD-ABCD,O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD、DC
的中点，则直线OM（）
A是AC和MN的公垂线B垂直于AC但不垂直于MN
C垂直于MN，但不垂直于ACD与AC、MN都不垂直
答案：
A。
解析：
易证OM⊥AC，OM⊥MN。
3．设正四棱锥S—ABCD的侧棱长为，底面边长为，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成的角是 （）
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案：
C。
解析：
连AC、BD交于O，连OE，则OE//SC.
4．异面直线a,b所成的角为，过空间一定点P，作直线L，使L与a,b所成的角均为，这样的直线L有条。
答案：
三条。
解析：
如换成50°，70°呢。
5．已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，D是底面三角形内一点，且
∠DPA=450，∠DPB=600，则∠DPC=__________。
答案：
600。
解析：
以PD为对角线构造长方体
6．正方体AC1中，过点A作截面，使正方体的12条棱所在直线与截面所成的角都相
等，试写出满足条件的一个截面____________
答案：
面AD1C。
解析：
可得12条棱分成三类：
平行、相交、异面，考虑正三棱锥D-AD1C，
7．如图，四面体ABCS中，SA，SB，SC两两垂直，∠SBA=45°，∠SBC=60°，M为AB的中点，求：
（1）BC与平面SAB所成的角；
（2）SC与平面ABC所成角的正弦值。
解析：
（1）∵SC⊥SB，SC⊥SA，∴SC⊥平面SAB。
于是SB就是直线BC与平面SAB所成的角，为60°。
（2）联结SM，CM，∵在Rt△SAB中，∠SBA=45°，∴SM⊥AB，∴AB⊥平面SCM。
作SH⊥CM于H，则AB⊥SH，故SH⊥平面ABC，所以∠SCH为SC与平面ABC所成的角。
设SA=a，则SB=a，SC=，SM=。
在Rt△CSM中，，
。
即SC与平面ABC所成角的正弦值为。
8．如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长AB＝2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F，
⑴求证：
A1C⊥平面BDE；
⑵求A1B与平面BDE所成角的正弦值。
答案：
⑴由三垂线定理可得，A1C⊥BD，A1C⊥BEA1C⊥平面BDE
⑵以DA、DC、DD1分别为x、y、z轴，建立坐标系，则，
，∴，
∴
设A1C平面BDE＝K，由⑴可知，∠A1BK为A1B与平面BDE所成角，
∴
9．A是△BCD所在平面外的点，∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°，AB=3，AC=AD=2.
（Ⅰ）求证：
AB⊥CD；
（Ⅱ）求AB与平面BCD所成角的余弦值.
答案：
（Ⅰ）∵∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°，AC=AD=2，AB=3，∴△ABC≌△ABD，BC=BD.
取CD的中点M，连AM、BM，则CD⊥AM，CD⊥BM.∴CD⊥平面ABM，于是AB⊥BD.
（Ⅱ）由CD⊥平面ABM，则平面ABM⊥平面BCD，这样∠ABM是AB与平面BCD所成的角.
在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，.在△ACD中，
AC=AD=2，∠CAD=60°，∴△ACD是正三角形，AM=.在Rt△BCM中，BC=，CM=1，
.
10．已知等腰DABC中，AC=BC=2，ACB=120°，DABC所在平面外的一点P到三角形三顶点的距离都等于4，求直线PC与平面ABC所成的角。
答案：
设点P在底面上的射影为O，连OB、OC，则OC是PC在平面ABC内的射影，
∴PCO是PC与面ABC所成的角。
∵PA=PB=PC，
∴点P在底面的射影是DABC的外心，
注意到DABC为钝角三角形，∴点O在DABC的外部，
∵AC=BC，O是DABC的外心，∴OC⊥AB
在DOBC中，OC=OB，OCB=60°，∴DOBC为等边三角形，∴OC=2
在RtDPOC中，∴PCO=60°。
【作业本】
A组
1．垂直于同一条直线的两条直线一定（）
A、平行B、相交C、异面D、以上都有可能
答案：
D。
解析：
注意空间和平面中的位置关系的不同。
2．是平面α的斜线，，与成角，与在α内的射影成角，则与α所成角的大小为。
答案：
。
解析：
，即θ=。
3．是两两成角的三条射线,则与平面所成角的余弦值是（）
A．B．C．D．
答案：
C。
解析：
可放入正四面中考虑。
4．直线与平面α成角为300，则m与所成角的取值范围是
。
答案：
[300,900]。
解析：
斜线与平面内所有直线的所成角中，线面角最小角。
5．边长为2的正方形ABCD在平面α内的射影是EFCD，如果AB与平面α的距离为，则AC与平面α所成角的大小是。
答案：
。
解析：
。
6．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=5，AD=8，AA1=4，M为B1C1上一点，且B1M=2，点N在线段A1D上，A1D⊥AN，求：
（1）；
（2）直线AD与平面ANM所成的角的正切；
（3）平面ANM与平面ABCD所成角（锐角）的余弦值.
解析：
（1）以A为原点，AB、AD、AA1所在直线为x轴，y轴，z轴.
则D（0,8,0），A1（0，0，4），M（5,2,4）
）
∵ ∴
（2）由
（1）知A1D⊥AM，又由已知A1D⊥AN，平面AMN，垂足为N.
因此AD与平面ANM所成的角即是
∴
（3）∵平面ABCD，A1N平面AMN，
∴分别成为平面ABCD和平面AMN的法向量。
设平面AMN与平面ABCD所成的角（锐角）为，则
P
B
α
C
A
7．已知∠ACB=900，且在平面α内，PC与CA、CB所成角
∠PCA=∠PCB=600,求PC与平面α所成角。
P
B
α
C
A
E
D
H
答案：
解：
如图过点P作PH⊥平面ABC于H，
过点H
升级会员 