高中数学竞赛(预赛)真题训练(一).doc
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高中数学竞赛（预赛）训练试题
（一）
姓名：
班级：
分数：
一、填空题（本题满分70分，每小题7分）
1．方程的实数解为．
2．函数R的单调减区间是.
3．在△中，已知，，则＝.
4．函数在区间上的最大值是，最小值是．
5．在直角坐标系中，已知圆心在原点、半径为的圆与△的边有公共点，
其中、、，则的取值范围为．
6．设函数的定义域为R，若与都是关于的奇函数，则函数
在区间上至少有个零点.
（第7题）
7．从正方体的条棱和条面对角线中选出条，使得其中任意
两条线段所在的直线都是异面直线，则的最大值为．
8．圆环形手镯上等距地镶嵌着颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种．其中镀金银的概率是．
9．在三棱锥中，已知，
，且．已知棱的长为，则此棱锥的体积为．
10．设复数列满足，，且．若对任意N*都有，
则的值是．
二、解答题（本题满分80分，每小题20分）
11．直角坐标系中，设、、是椭圆上的三点．若
，证明：
线段的中点在椭圆上．
12．已知整数列满足，，前项依次成等差数列，从第项起依次
成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）求出所有的正整数，使得．
13．如图，圆内接五边形中，是外接圆的直径，，垂足.
过点作平行于的直线，与直线、分别交于点、．
证明：
（1）点、、、共圆；
（2）四边形是矩形．
14．求所有正整数，，使得与都是完全平方数．
高中数学竞赛（预赛）训练试题
（一）详细解答
一、填空题（本题满分70分，每小题7分）
1．方程的实数解为．
提示与答案：
x＜0无解;当时，原方程变形为32x+3x－6=0，解得3x=2，x=log32．
2．函数R的单调减区间是.
提示与答案：
与f（x）=y2=1+|sin2x|的单调减区间相同，Z．
3．在△中，已知，，则＝.
提示与答案：
，得．
4．函数在区间上的最大值是，最小值是．
提示与答案：
极小值－4，端点函数值f
（2）=0，f（0）=－2，最小值－4，最大值0．
5．在直角坐标系中，已知圆心在原点、半径为的圆与△的边有公共点，
其中、、，则的取值范围为．
提示与答案：
画图观察，R最小时圆与直线段AC相切，R最大时圆过点B．[，10]．
6．设函数的定义域为R，若与都是关于的奇函数，则函数
在区间上至少有个零点.
提示与答案：
f（2k-1）=0，k∈Z.又可作一个函数满足问题中的条件，且的
一个零点恰为，k∈Z.所以至少有50个零点.
（第7题）
7．从正方体的条棱和条面对角线中选出条，使得其中任意
两条线段所在的直线都是异面直线，则的最大值为．
提示与答案：
不能有公共端点，最多4条，图上知4条可以．
8．圆环形手镯上等距地镶嵌着颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种．其中
镀金银的概率是．
提示与答案：
穷举法，注意可翻转，有6种情况，2金2银有两种，概率为．
9．在三棱锥中，已知，
，且．已知棱的长为，则此棱锥的体积为．
提示与答案：
4面为全等的等腰三角形，由体积公式可求得三棱锥的体积为144．
10．设复数列满足，，且．若对任意N*都有，
则的值是．
提示与答案：
由，
恒成立，即.因为或，故，所以
．
二、解答题（本题满分80分，每小题20分）
11．直角坐标系中，设、、是椭圆上的三点．若
，证明：
线段的中点在椭圆上．
解：
设A（x1，y1），B（x2，y2），则＋y12＝1，＋y22＝1．
由，得M（x1＋x2，y1＋y2）．
因为M是椭圆C上一点，所以
＋（y1＋y2）2＝1，…………………6分
即（＋y12）（）2＋（＋y22）（）2+2（）（）（＋y1y2）=1，
得（）2＋（）2+2（）（）（＋y1y2）＝1，故
＋y1y2＝0．…………………14分
又线段AB的中点的坐标为（，），
所以＋2（）2＝（＋y12）+（＋y22）+＋y1y2＝1，
从而线段AB的中点（，）在椭圆＋2y2＝1上．………………20分
12．已知整数列满足，，前项依次成等差数列，从第项起依次
成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）求出所有的正整数，使得．
解：
（1）设数列前6项的公差为d，则a5=－1+2d，a6=－1+3d，d为整数.
又a5，a6，a7成等比数列，所以（3d－1）2=4（2d－1），
即9d2－14d+5=0，得d=1.…………………6分
当n≤6时，an=n－4，
由此a5=1，a6=2，数列从第5项起构成的等比数列的公比为2，
所以，当n≥5时，an=2n-5.
故an=…………………10分
（2）由
（1）知，数列为：
－3，－2，－1，0，1，2，4，8，16，…
当m=1时等式成立，即－3－2－1=―6=（－3）（－2）（－1）；
当m=3时等式成立，即－1+0+1=0；
当m=2、4时等式不成立；…………………15分
当m≥5时，amam+1am+2=23m-12，am+am+1+am+2=2m-5（23－1）=7×2m-5，
7×2m-5≠23m-12，
所以am+am+1+am+2≠amam+1am+2.
故所求m=1，或A
B
C
D
E
F
H
G
m=3．…………………20分
13．如图，圆内接五边形中，是外接圆的直径，，垂足.
过点作平行于的直线，与直线、分别交于点、．
证明：
（1）点、、、共圆；
（2）四边形是矩形．
证明：
（1）由HG∥CE，得∠BHF=∠BEC，
又同弧的圆周角∠BAF=∠BEC，
∴∠BAF=∠BHF，
∴点A、B、F、H共圆；
…………………8分
（2）由
（1）的结论，得∠BHA=∠BFA，
∵BE⊥AD，∴BF⊥AC，
又AD是圆的直径，∴CG⊥AC，…………………14分
由A、B、C、D共圆及A、B、F、H共圆，
∴∠BFG=∠DAB=∠BCG，∴B、G、C、F共圆.
∴∠BGC=∠AFB=900,∴BG⊥GC，
∴所以四边形BFCG是矩形．…………………20分
14．求所有正整数，，使得与都是完全平方数．
解：
若x=y，则x2+3x是完全平方数.
∵x2＜x2+3x＜x2+4x+4=（x+2）2，
∴x2+3x=（x+1）2，∴x=y=1.………………5分
若x＞y，则x2＜x2+3y＜x2+3x＜x2+4x+4=（x+2）2.
∵x2+3y是完全平方数，
∴x2+3y=（x+1）2，得3y=2x+1，由此可知y是奇数，设y=2k+1，则x=3k+1，k是正整数.
又y2+3x=4k2+4k+1+9k+3=4k2+13k+4是完全平方数，且
（2k+2）2=4k2+8k+4＜4k2+13k+4＜4k2+16k+16=（2k+4）2，
∴y2+3x=4k2+13k+4=（2k+3）2，
得k=5，从而求得x=16，y=11.…………………15分
若x＜y，同x＞y情形可求得x=11，y=16.
综上所述，（x，y）=（1，1）,（11，16）,（16，11）．…………………20分
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