高中数学必修2-第二章《点、直线、平面之间的位置关系》单元测试题.doc

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第二章综合素能检测

时间120分钟，满分150分。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）

1．（2013～2014·福建师大附中模块）设α，β表示两个平面，l表示直线，A，B，C表示三个不同的点，给出下列命题：

①若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l⊂α；

②α，β不重合，若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB；

③若l⊄α，A∈l，则A∉α；

④若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线，则α与β重合．

则上述命题中，正确的个数是（　　）

A．1　　　 B．2　　　

C．3　　　 D．4

[答案]　C

[解析]　根据公理1可知①正确；根据公理3可知②正确，根据公理2可知④正确；当点A为直线l与平面α的交点时，可知③错误．

2．菱形ABCD在平面α内，PC⊥α，则PA与对角线BD的位置关系是（　　）

A．平行 B．相交但不垂直

C．相交垂直 D．异面垂直

[答案]　D

[解析]　∵PC⊥平面α，∴PC⊥BD，又在菱形ABCD中，AC⊥BD，∴BD⊥平面PAC.又PA⊂平面PAC，∴BD⊥PA.显然PA与BD异面，故PA与BD异面垂直．

3．设P是△ABC所在平面α外一点，H是P在α内的射影，且PA，PB，PC与α所成的角相等，则H是△ABC的（　　）

A．内心 B．外心

C．垂心 D．重心

[答案]　B

[解析]　由题意知Rt△PHA≌Rt△PHB≌Rt△PHC，得HA＝HB＝HC，所以H是△ABC的外接圆圆心．

4．已知二面角α－l－β的大小为60°，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为（　　）

A．30° B．60°

C．90° D．120°

[答案]　B

[解析]　易知m，n所成的角与二面角的大小相等，故选B.

5．（2013～2014·珠海模拟）已知a，b，l表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，有下列命题：

①若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥γ；

②若a，b相交，且都在α，β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；

③若α⊥β，α∩β＝a，b⊂β，a⊥b，则b⊥α；

④若a∩α，b∩α，l⊥a，l⊥b，则l⊥α.

其中正确的有（　　）

A．0个 B．1个

C．2个 D．3个

[答案]　C

[解析]　可借助正方体模型解决．如图，在正方体A1B1C1D1－ABCD中，可令平面A1B1CD为α，平面DCC1D1为β，平面A1B1C1D1为γ.又平面A1B1CD∩DCC1D1＝CD，平面A1B1C1D1∩平面DCC1D1＝C1D1，则CD与C1D1所在的直线分别表示a，b，因为CD∥C1D1，但平面A1B1CD与平面A1B1C1D1不平行，即α与γ不平行，故①错误．因为a，b相交，可设其确定的平面为γ，根据a∥α，b∥α，可得γ∥α.同理可得γ∥β，因此α∥β，②正确．由两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面垂直，易知③正确．a∥b时，由题知l垂直于平面α内两条不相交直线，得不出l⊥α，④错误．

6．（2013·新课标全国Ⅱ）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（　　）

A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥β

C．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l

[答案]　D

[解析]　由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，则交线平行于l，故选D.

7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是线段A1B1，B1C1上的不与端点重合的动点，如果A1E＝B1F，有下面四个结论：

①EF⊥AA1；②EF∥AC；③EF与AC异面；④EF∥平面ABCD.

其中一定正确的有（　　）

A．①② B．②③

C．②④ D．①④

[答案]　D

[解析]　如右图所示．由于AA1⊥平面A1B1C1D1，EF⊂平面A1B1C1D1，则EF⊥AA1，所以①正确；当E，F分别是线段A1B1，B1C1的中点时，EF∥A1C1，又AC∥A1C1，则EF∥AC，所以③不正确；当E，F分别不是线段A1B1，B1C1的中点时，EF与AC异面，所以②不正确；由于平面A1B1C1D1∥平面ABCD，EF⊂平面A1B1C1D1，所以EF∥平面ABCD，所以④正确．

8．如图，若Ω是长方体ABCD－A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是（　　）

A．EH∥FG B．四边形EFGH是矩形

C．Ω是棱柱 D．Ω是棱台

[答案]　D

[解析]　因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，所以EH∥B1C1，又EH⊄平面BCC1B1，所以EH∥平面BCC1B1，又EH⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面BCC1B1＝FG，所以EH∥FG，又EH∥B1C1，所以Ω是棱柱，所以A，C正确；因为A1D1⊥平面ABB1A1，EH∥A1D1，所以EH⊥平面ABB1A1，又EF⊂平面ABB1A1，故EH⊥EF，所以B正确，故选D.

9．（2012·大纲版数学（文科））已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么直线AE与D1F所成角的余弦值为（　　）

A．－ D．

C． D．－

[答案]　B

[命题意图]　本试题考查了正方体中异面直线的所成角的求解的运用．

[解析]　首先根据已知条件，连接DF，然后则∠DFD1即为异面直线所成的角，设棱长为2，则可以求解得到

＝DF＝D1F，DD1＝2，结合余弦定理得到结论．

10．如图，在三棱柱ABC－A′B′C′中，点E，F，H，K分别为AC′，CB′，A′B，B′C′的中点，G为△ABC的重心，从K，H，G，B′中取一点作为P，使得该三棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则点P为（　　）

A．K B．H

C．G D．B′

[答案]　C

[解析]　应用验证法：

选G点为P时，EF∥A′B′且EF∥AB，此时恰有A′B′和AB平行于平面PEF，故选C.

11．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列结论正确的是（　　）

A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC

[答案]　D

[解析]　由平面图形易知∠BDC＝90°.∵平面ABD⊥平面BCD，CD⊥BD，∴CD⊥平面ABD.∴CD⊥AB.又AB⊥AD，CD∩AD＝D，∴AB⊥平面ADC.又AB⊂平面ABC，∴平面ADC⊥平面ABC.

12．（2013·全国卷）已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（　　）

A． B．

C． D．

[答案]　A

[解析]　如图，连接AC交BD于点O，连接C1O，过C作CH⊥C1O于点H，

⇒

⇒⇒CH⊥面BDC1，

∴∠HDC为CD与面BDC1所成的角，

设AA1＝2AB＝2，OC＝，CC1＝2，OC1＝，CH＝＝，∴sin∠HDC＝＝，故选A.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上）

13．直线l与平面α所成角为30°，l∩α＝A，m⊂α，A∉m，则m与l所成角的取值范围是________．

[答案]　[30°，90°]

[解析]　直线l与平面α所成的30°的角为m与l所成角的最小值，当m在α内适当旋转就可以得到l⊥m，即m与l所成角的最大值为90°.

14．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD（只要填写一个你认为是正确的条件即可）．

[答案]　DM⊥PC（或BM⊥PC）

[解析]　连接AC，则BD⊥AC，由PA⊥底面ABCD，可知BD⊥PA，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.故当DM⊥PC（或BM⊥PC）时，平面MBD⊥平面PCD.

15．（2014·北京高考理科数学）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为________．

[答案]　2

[解析]　三棱锥的直观图如右图．

AB⊥面BCD，△BCD为等腰直角三角形．

AB＝2，BD＝2，BC＝CD＝，

AC＝＝，

AD＝＝＝2.

16．（2013·高考安徽卷）如图正方体ABCD－A1B1C1D1，棱长为1，P为BC中点，Q为线段CC1上的动点，过A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是________．（写出所有正确命题的编号）

①当0

②当CQ＝时，S为等腰梯形

③当CQ＝时，S与C1D1交点R满足C1R1＝

④当

⑤当CQ＝1时，S的面积为.

[答案]　①②③⑤

[解析]　设截面与DD1相交于T，则AT∥PQ，且AT＝2PQ⇒DT＝2CQ.

对于①，当0

对于②，当CQ＝时，DT＝1，T与D重合，截面S为四边形APQO1，所以AP＝D1Q，截面为等腰梯形，所以为真．

对于③，当CQ＝，QC1＝，DT＝2，D1T＝，利用三角形相似解得，C1R1＝，所以为真．

对于④，当

对于⑤，当CQ＝1时，Q与C1重合，截面S与线段A1D1相交于中点G，即即为菱形APC1G，对角线长度为和，S的面积为，所以为真，综上，选①②③⑤.

三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）如右图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点．

求证：

（1）平面AB1F1∥平面C1BF；

（2）平面AB1F1⊥平面ACC1A1.

[分析]　本题可以根据面面平行和面面垂直的判定定理和性质定理，寻找使结论成立的充分条件．

[证明]　

（1）在正三棱柱ABC－A1B1C1中，

∵F、F1分别是AC、A1C1的中点，

∴B1F1∥BF，AF1∥C1F.

又∵B1F1∩AF1＝F1，C1F∩BF＝F，

∴平面AB1F1∥平面C1BF.

（2）在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴B1F1⊥AA1.

又B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1，

∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1⊂平面AB1F1，

∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1.

18．（本小题满分12分）（2013·四川·文科）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1＝2，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点．

（1）在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；

（2）设

（1）中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1－QC1D的体积．（锥体体积公式：

V＝Sh，其中S为底面面积，h为高）

[解析]　

（1）在平面ABC内，过点P作直线l和BC平行．

理由如下：

由于直线l不在平面A1BC内，l∥BC，

故直线l与平面A1BC平行．

在△AB