高中数学基础知识大全(全国新课标版).doc

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高中数学基础知识大全（新课标版）

第一部分集合

1.理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：

元素是函数关系中自变量的取值？

还是因变量的取值？

还是曲线上的点？

…

2.数形结合是解集合问题的常用方法：

解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决

3.

（1）元素与集合的关系：

.

（2）德摩根公式：

.

（3）

注意：

讨论的时候不要遗忘了的情况.

（4）集合的子集个数共有个；真子集有–1个；非空子集有–1个；

非空真子集有–2个.

4．是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

第二部分函数

1．映射：

注意:

①第一个集合中的元素必须有象；②一对一或多对一.

2．函数值域的求法：

①分析法；②配方法；③判别式法；④利用函数单调性；⑤换元法；

⑥利用均值不等式；⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、

绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（、、等）；⑨平方法；⑩导数法

3．复合函数的有关问题:

（1）复合函数定义域求法：

①若f（x）的定义域为［a，b］,则复合函数f[g（x）]的定义域由不等式a≤g（x）≤b解出

②若f[g（x）]的定义域为[a,b],求f（x）的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g（x）的值域.

（2）复合函数单调性的判定：

①首先将原函数分解为基本函数：

内函数与外函数

②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性

③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性.

4．分段函数：

值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。

5．函数的奇偶性:

⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件

⑵是奇函数；是偶函数.

⑶奇函数在0处有定义，则

⑷在关于原点对称的单调区间内：

奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性

⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性

6．函数的单调性:

⑴单调性的定义：

①在区间上是增函数当时有；

②在区间上是减函数当时有；

⑵单调性的判定：

①定义法：

一般要将式子化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；②复合函数法③图像法

注：

证明单调性主要用定义法。

7．函数的周期性：

（1）周期性的定义：

对定义域内的任意，若有（其中为非零常数），则称函数为周期函数，为它的一个周期。

所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。

如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。

（2）三角函数的周期：

①；②；③；

④；⑤

（3）与周期有关的结论：

或的周期为

8．基本初等函数的图像与性质：

㈠.⑴指数函数：

；⑵对数函数:

；

⑶幂函数：

（；⑷正弦函数:

；⑸余弦函数：

；

（6）正切函数：

；⑺一元二次函数：

（a≠0）；⑻其它常用函数：

①正比例函数：

；②反比例函数：

；③函数

㈡.⑴分数指数幂：

；（以上，且）.

⑵.①；②；

③；④.

⑶.对数的换底公式:

.对数恒等式:

.

9．二次函数：

⑴解析式：

①一般式：

；②顶点式：

，为顶点；

③零点式：

（a≠0）.

⑵二次函数问题解决需考虑的因素：

①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。

二次函数的图象的对称轴方程是，顶点坐标是。

10．函数图象：

⑴图象作法：

①描点法（特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法

⑵图象变换：

①平移变换：

ⅰ），———左“+”右“－”；

ⅱ）———上“+”下“－”；

②对称变换：

ⅰ）；ⅱ）；

ⅲ）；ⅳ）；

③翻折变换：

ⅰ）———（去左翻右）y轴右不动，右向左翻（在左侧图象去掉）；

ⅱ）———（留上翻下）x轴上不动，下向上翻（||在下面无图象）；

12．函数零点的求法：

⑴直接法（求的根）；⑵图象法；⑶二分法.

（4）零点定理：

若y=f（x）在[a,b]上满足f（a）·f（b）<0,则y=f（x）在（a,b）内至少有一个零点。

第三部分三角函数、三角恒等变换与解三角形

1．⑴角度制与弧度制的互化：

弧度，弧度，弧度

⑵弧长公式：

；扇形面积公式：

。

2．三角函数定义:

角终边上任一点（非原点）P,设则：

3．三角函数符号规律：

一全正，二正弦，三正切，四余弦；（简记为“全stc”）

4．诱导公式记忆规律：

“奇变偶不变，符号看象限”

5．⑴对称轴：

令，得对称中心：

；

⑵对称轴：

令，得；对称中心：

；

⑶周期公式:

①函数及的周期（A、ω、为常数，

且A≠0）.②函数的周期（A、ω、为常数，且A≠0）.

6．同角三角函数的基本关系：

7．三角函数的单调区间及对称性：

⑴的单调递增区间为,单调递减区间为

，对称轴为,对称中心为.

⑵的单调递增区间为,单调递减区间为，

对称轴为,对称中心为.

⑶的单调递增区间为，对称中心为.

8．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

①；；

.

②；.

③=（其中,辅助角所在象限由点所在的象限

决定,）.

9．二倍角公式：

①.

②（升幂公式）.

（降幂公式）.

10．正、余弦定理：

⑴正弦定理：

（是外接圆直径 ）

注：

①；②；③。

⑵余弦定理：

等三个；等三个。

11.几个公式:

⑴三角形面积公式：

①（分别表示a、b、c边上的高）；②.③

⑵内切圆半径r=；外接圆直径2R=

第四部分平面向量

1.平面上两点间的距离公式:

，其中A，B.

2.向量的平行与垂直：

设=,=，且，则：

①∥=λ；

②（）·=0.

3.a·b=|a||b|cos=xx2+y1y2；

注：

①|a|cos叫做a在b方向上的投影；|b|cos叫做b在a方向上的投影；

②a·b的几何意义：

a·b等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos的乘积。

4.cos=；

5.三点共线的充要条件：

P，A，B三点共线。

第五部分数列

1．定义：

⑵等比数列

2．等差、等比数列性质：

等差数列等比数列

通项公式

前n项和

性质①an=am+（n－m）d,①an=amqn-m;

②m+n=p+q时am+an=ap+aq②m+n=p+q时aman=apaq

③成AP③成GP

④成AP,④成GP,

3．常见数列通项的求法：

an=

S1（n=1）

Sn－Sn-1（n≥2）

⑴定义法（利用AP,GP的定义）；⑵累加法（型）；⑶公式法：

⑷累乘法（型）；⑸待定系数法（型）转化为

（6）间接法（例如：

）；（7）（理科）数学归纳法。

4．前项和的求法：

⑴分组求和法；⑵错位相减法；⑶裂项法。

5．等差数列前n项和最值的求法：

⑴最大值；⑵利用二次函数的图象与性质。

第六部分不等式

1．均值不等式：

注意：

①一正二定三相等；②变形：

。

2．极值定理：

已知都是正数，则有：

（1）如果积是定值，那么当时和有最小值；

（2）如果和是定值，那么当时积有最大值.

3.解一元二次不等式:

若,则对于解集不是全集或空集时,对应的

解集为“大两边，小中间”.如:

当,；

.

4.含有绝对值的不等式：

当时，有：

①；

②或.

5*.分式不等式：

（1）；

（2）；

（3）；（4）.

6*.指数不等式与对数不等式

（1）当时,；.

（2）当时,；

3．不等式的性质：

⑴；⑵；⑶；

；⑷；；

;⑸;⑹

第七部分概率

1．事件的关系：

⑴事件B包含事件A：

事件A发生，事件B一定发生，记作；

⑵事件A与事件B相等：

若，则事件A与B相等，记作A=B；

⑶并（和）事件：

某事件发生，当且仅当事件A发生或B发生，记作（或）；

⑷并（积）事件：

某事件发生，当且仅当事件A发生且B发生，记作（或）；

⑸事件A与事件B互斥：

若为不可能事件（），则事件A与互斥；

⑹对立事件：

为不可能事件，为必然事件，则A与B互为对立事件。

2．概率公式：

⑵古典概型：

；

⑶几何概型：

；

第八部分统计与统计案例

1．抽样方法：

⑴简单随机抽样：

一般地，设一个总体的个数为N，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量

为n的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。

注：

①每个个体被抽到的概率为；

②常用的简单随机抽样方法有：

抽签法；随机数表法。

⑵系统抽样：

当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的规则，从

每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。

注：

步骤：

①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定起始的个体编号；④按预

先制定的规则抽取样本。

⑶分层抽样：

当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情况，

将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。

注：

每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数

注:

以上三种抽样的共同特点是：

在抽样过程中每个个体被抽取的概率相等

2．频率分布直方图与茎叶图：

⑴用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图。

⑵当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边像植物茎上长出来的叶子，这种表示数据的图叫做茎叶图。

3．总体特征数的估计：

⑴样本平均数；

⑵样本方差；

⑶样本标准差=

第九部分算法初步

1．程序框图：

⑴图形符号：

①终端框（起止框）；②输入、输出框；

③

处理框（执行框）；④判断框；⑤流程线；

⑵程序框图分类:

①顺序结构：

②条件结构：

③循环结构：

r=0?

否求n除以i的余数

输入n是

n不是质数n是质数i=i+1

i=2

in或r=0?

否

是

注：

循环结构分为：

Ⅰ．当型（while型）——先判断条件，再执行循环体；

Ⅱ．直到型（until型）——先执行一次循环体，再判断条件。

2．基本算法语句：

⑴输入语句INPUT“提示内容”；变量；输出语句：

PRINT“提示内容”；表达式

赋