高中数列知识点、解题方法和题型大全.doc

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高中数列知识点、解题方法和题型大全

一高中数列知识点总结

1.等差数列的定义与性质 2

2.等比数列的定义与性质 3

二解题方法 4

1求数列通项公式的常用方法 4

（1）求差（商）法 4

（2）叠乘法 4

（3）等差型递推公式 4

（4）等比型递推公式 5

（5）倒数法 5

2求数列前n项和的常用方法 6

（1）裂项法 6

（2）错位相减法 6

（3）倒序相加法 7

三方法总结及题型大全 9

一高中数列知识点总结

1.等差数列的定义与性质

定义：

（为常数），

等差中项：

成等差数列

前项和

性质：

是等差数列

（1）若，则

（2）数列仍为等差数列，仍为等差数列，公差为；

（3）若三个成等差数列，可设为

（4）若是等差数列，且前项和分别为，则

（5）为等差数列（为常数，是关于的常数项为0的二次函数）

的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界项，

即：

当，解不等式组可得达到最大值时的值.

当，由可得达到最小值时的值.

（6）项数为偶数的等差数列，有

，.

（7）项数为奇数的等差数列，有

，

，.

2.等比数列的定义与性质

定义：

（为常数，），.

等比中项：

成等比数列，或.

前项和：

（要注意！

）

性质：

是等比数列

（1）若，则

（2）仍为等比数列,公比为.

注意：

由求时应注意什么？

时，；

时，.

二解题方法

1求数列通项公式的常用方法

（1）求差（商）法

如：

数列，，求

解时，，∴ ①

时， ②

①—②得：

，∴，∴

［练习］数列满足，求

注意到，代入得；又，∴是等比数列，

时，

（2）叠乘法

如：

数列中，，求

解，∴又，∴.

（3）等差型递推公式

由，求，用迭加法

时，两边相加得

∴

［练习］数列中，，求（）

（4）等比型递推公式

（为常数，）

可转化为等比数列，设

令，∴，∴是首项为为公比的等比数列

∴，∴

（5）倒数法

如：

，求

由已知得：

，∴

∴为等差数列，，公差为，∴，

∴

（附：

公式法、利用、累加法、累乘法.构造等差或等比或、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法）

2求数列前n项和的常用方法

（1）裂项法

把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.

如：

是公差为的等差数列，求

解：

由

∴

［练习］求和：

（2）错位相减法

若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项和，可由，求，其中为的公比.

如：

①

②

①—②

时，，时，

（3）倒序相加法

把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.

相加

［练习］已知，则

由

∴原式

（附：

a.用倒序相加法求数列的前n项和

如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。

我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：

等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。

b.用公式法求数列的前n项和

对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。

运用公式求解的注意事项：

首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。

c.用裂项相消法求数列的前n项和

裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。

d.用错位相减法求数列的前n项和

错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。

即若在数列{an·bn}中，{an}成等差数列，{bn}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。

e.用迭加法求数列的前n项和

迭加法主要应用于数列{an}满足an+1=an+f（n），其中f（n）是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成an+1-an=f（n），代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an，从而求出Sn。

f.用分组求和法求数列的前n项和

所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。

g.用构造法求数列的前n项和

所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。

）

三方法总结及题型大全

方法技巧

数列求和的常用方法

一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

等差数列求和公式：

2、等比数列求和公式：

4、

例1（07高考山东文18）设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，且构成等差数列．

（1）求数列的等差数列．

（2）令求数列的前项和．

解：

（1）由已知得解得．

设数列的公比为，由，可得．

又，可知，即，

解得．由题意得．

．故数列的通项为．

（2）由于由

（1）得

，又

是等差数列．

故．

练习：

设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.

解：

由等差数列求和公式得，（利用常用公式）

∴＝

＝＝

∴当，即n＝8时，

二、错位相减法

设数列的等比数列，数列是等差数列，则数列的前项和求解，均可用错位相减法。

例2（07高考天津理21）在数列中，，其中．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前项和；

（Ⅰ）解：

由，，

可得，

所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为．

（Ⅱ）解：

设，　　　①

　　　　　　　　②

当时，①式减去②式，

得，

．

这时数列的前项和．

当时，．这时数列的前项和．

例3（07高考全国Ⅱ文21）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，

（Ⅰ）求，的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前n项和．

解：

（Ⅰ）设的公差为，的公比为，则依题意有且

解得，．

所以，

．

（Ⅱ）．

，①

，②

②－①得，

．

三、逆序相加法

把数列正着写和倒着写再相加（即等差数列求和公式的推导过程的推广）

例4（07豫南五市二联理22.）设函数的图象上有两点P1（x1,y1）、P2（x2,y2），若,且点P的横坐标为.

（I）求证：

P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；

（II）若

（III）略

（I）∵,且点P的横坐标为.

∴P是的中点，且

由（I）知，

，

（1）+

（2）得：

四、裂项求和法

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：

（1）

（2）

（3）等。

例5求数列的前n项和.

解：

设（裂项）

则（裂项求和）

＝

＝

例6（06高考湖北卷理17）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；

解：

（Ⅰ）设这二次函数f（x）＝ax2+bx（a≠0）,则f`（x）=2ax+b,由于f`（x）=6x－2,得

a=3,b=－2,所以f（x）＝3x2－2x.

又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5.

当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5（）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝，

故Tn＝＝＝（1－）.

因此，要使（1－）<（）成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.

评析：

一般地，若数列为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，则求和：

首先考虑则=。

下列求和：

也可用裂项求和法。

五、分组求和法

所谓分组法求和就是：

对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。

例7数列{an}的前n项和，数列{bn}满.

（Ⅰ）证明数列{an}为等比数列；（Ⅱ）求数列{bn}的前n项和Tn。

解析：

（Ⅰ）由，

两式相减得：

，

同定义知是首项为1，公比为2的等比数列.

（Ⅱ）

等式左、右两边分别相加得：

=

　例8求（）

解：

⑴　当为偶数时，

；

⑵　当为奇数时，

综上所述，．

点评：

分组求和即将不能直接求和的数列分解成若干个可以求和的数列,分别求和.

六、利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.

例9求之和.

解：

由于（找通项及特征）

∴

＝（分组求和）

＝

＝

＝

例10已知数列{an}：

的值.

解：

∵（找通项及特征）

＝（设制分组）

＝（裂项）

∴（分组、裂项求和）

＝

＝

类型1

解法：

把原递推公式转化为，利用累加法（逐差相加法）求解。

例:

已知数列满足，，求。

解：

由条件知：

分别令，代入上式得个等式累加之，即

所以

，

类型2

解法：

把原递推公式转化为，利用累乘法（逐商相乘法）求解。

例:

已知数列满足，，求。

解：

由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即

又，

例:

已知，，求。

。

类型3（其中p，q均为常数，）。

解法（待定系数法）：

把原递推公式转化为：

，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。

例:

已知数列中，，，求.

解：

设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且

.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则

所以.

变式:

递推式：

。

解法：

只需构造数列，消去带来的差异．

类型4（其中p，q均为常数，）。

（,其中p，q,r均为常数）。

解法：

一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：

引入辅助数列（其中），得：

再待定系数法解决。

例:

已知数列中，,，求。

解：

在两边乘以得：

令，则,解之得：

所以

类型5递推公式为（其中p，q均为常数）。

解法一（待定系数法）：

先把原递推公式转化为其中s，t满足

解法二（特征根法）：

对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。

若是特征方程的两个根，