高中圆的重要题型4.doc

高中圆的重要题型4.doc

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类型四：

直线与圆的位置关系.

例13圆上到直线的距离为1的点有几个？

分析：

借助图形直观求解．或先求出直线、的方程，从代数计算中寻找解答．

解法一：

圆的圆心为，半径．

设圆心到直线的距离为，则．

如图，在圆心同侧，与直线平行且距离为1的直线与圆有两个交点，这两个交点符合题意．

又．

∴与直线平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意．

∴符合题意的点共有3个．

解法二：

符合题意的点是平行于直线，且与之距离为1的直线和圆的交点．设所求直线为，则，

∴，即，或，也即

，或．

设圆的圆心到直线、的距离为、，则

，．

∴与相切，与圆有一个公共点；与圆相交，与圆有两个公共点．即符合题意的点共3个．

说明：

对于本题，若不留心，则易发生以下误解：

设圆心到直线的距离为，则．

∴圆到距离为1的点有两个．

显然，上述误解中的是圆心到直线的距离，，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．

到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断．