高三精选立体几何大题(含详细解答).doc

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立体几何大题训练

1．如下图，一个等腰直角三角形的硬纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，CD是斜边上的高沿CD把△ABC折成直二面角．

A

B

C

第1题图

A

B

C

D

第1题图

（1）如果你手中只有一把能度量长度的直尺，应该如何确定A，B的位置，使二面角A－CD－B是直二面角？

证明你的结论．

（2）试在平面ABC上确定一个P，使DP与平面ABC内任意一条直线都垂直，证明你的结论．

（3）如果在折成的三棱锥内有一个小球，求出小球半径的最大值．

解：

（1）用直尺度量折后的AB长，若AB＝4cm，则二面角A－CD－B为直二面角．

∵△ABC是等腰直角三角形，

又∵AD⊥DC，BD⊥DC．

∴∠ADC是二面角A－CD－B的平面角．

（2）取△ABC的中心P，连DP，则DP满足条件

∵△ABC为正三角形，且AD＝BD＝CD．

∴三棱锥D－ABC是正三棱锥，由P为△ABC的中心，知DP⊥平面ABC，

∴DP与平面内任意一条直线都垂直．

（3）当小球半径最大时，此小球与三棱锥的4个面都相切，设小球球心为0，半径为r，连结OA，OB，OC，OD，三棱锥被分为4个小三棱锥，且每个小三棱锥中有一个面上的高都为r，故有代入得，即半径最大的小球半径为．

2．如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为3，侧棱长为4，连结A1B，过A作AF⊥A1B垂足为F，且AF的延长线交B1B于E。

（Ⅰ）求证：

D1B⊥平面AEC；

（Ⅱ）求三棱锥B—AEC的体积；

（Ⅲ）求二面角B—AE—C的正切值

证（Ⅰ）∵ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，

∴D1D⊥ABCD.

连AC，又底面ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，

由三垂线定理知D1B⊥AC.

同理，D1B⊥AE，AE∩AC=A，

∴D1B⊥平面AEC.

解（Ⅱ）VB－AEC=VE－ABC.

∵EB⊥平面ABC，

∴EB的长为E点到平面ABC的距离.

∵Rt△ABE~Rt△A1AB，

∴EB=

∴VB－AEC=VE－ABC=S△ABC·EB

=××3×3×

=（10分）

解（Ⅲ）连CF，

∵CB⊥平面A1B1BA，又BF⊥AE，

由三垂线定理知，CF⊥AE.

于是，∠BFC为二面角B—AE—C的平面角，

在Rt△ABE中，BF=，

在Rt△CBF中，tg∠BFC=，

∴∠BFC=arctg.

即二面角B—AE—C的大小为arctg.

3．如图，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2，AB=1，F是CD的中点．

（Ⅰ）求证：

AF∥平面BCE；

（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积；

（Ⅲ）求二面角C-BE-D的正切值．

证：

（Ⅰ）取CE中点M，连结FM，BM，则有．

∴四边形AFMB是平行四边形．

∴AF//BM，

∵平面BCE，

平面BCE，

∴AF//平面BCE．

（Ⅱ）由于DE⊥平面ACD，

则DE⊥AF．

又△ACD是等边三角形，则AF⊥CD．而CD∩DE=D，因此AF⊥平面CDE．

又BM//AF，则BM⊥平面CDE．

．

（Ⅲ）设G为AD中点，连结CG，则CG⊥AD．

由DE⊥平面ACD，平面ACD，

则DE⊥CG，又AD∩DE=D，

∴CG⊥平面ADEB．

作GH⊥BE于H，连结CH，则CH⊥BE．

∴∠CHG为二面角C-BE-D的平面角．

由已知AB=1，DE=AD=2，则，

∴．

不难算出．

∴，∴．

∴．

4．已知：

ABCD是矩形，设PA=a，PA⊥平面ABCD.M、N分别是AB、PC的中点.

（Ⅰ）求证：

MN⊥AB；

（Ⅱ）若PD=AB，且平面MND⊥平面PCD，求二面角P—CD—A的大小；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求三棱锥D—AMN的体积.

（Ⅰ）连结AC，AN.由BC⊥AB，AB是PB在

底面ABCD上的射影.则有BC⊥PB.

又BN是Rt△PBC斜边PC的中线，

即.

由PA⊥底面ABCD，有PA⊥AC，

则AN是Rt△PAC斜边PC的中线，

即

又∵M是AB的中点，

（也可由三垂线定理证明）

（Ⅱ）由PA⊥平面ABCD，AD⊥DC，有PD⊥DC.

则∠PDA为平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角

由PA=a，设AD=BC=b，CD=AB=c，又由AB=PD=DC，N是PC中点，

则有DN⊥PC

又∵平面MND⊥平面PCD于ND，∴PC⊥平面MND∴PC⊥MN，

而N是PC中点，则必有PM=MC.

此时.

即二面角P—CD—A的大小为

（Ⅲ），∥

＝

连结BD交AC于O，连结NO，则NOPA.且NO⊥平面AMD，由PA=a

5．如图，四棱锥P—ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，点M、N分别在棱PD、PC上，且PC⊥平面AMN.

（Ⅰ）求证：

AM⊥PD；

（Ⅱ）求二面角P—AM—N的大小；

（Ⅲ）求直线CD与平面AMN所成角的大小.

（I）证明：

∵ABCD是正方形，∴CD⊥AD，

∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD.

∴CD⊥平面PAD

∵AM平面PAD，∴CD⊥AM.

∵PC⊥平面AMN，∴PC⊥AM.

∴AM⊥平面PCD.

∴AM⊥PD

（II）解：

∵AM⊥平面PCD（已证）.

∴AM⊥PM，AM⊥NM.

∴∠PMN为二面角P-AM-N的平面角

∵PN⊥平面AMN，∴PN⊥NM.

在直角△PCD中，CD=2，PD=2，∴PC=2.

∵PA=AD，AM⊥PD，∴M为PD的中点，

PM=PD=

由Rt△PMN∽Rt△PCD，得∴.

即二面角P—AM—N的大小为.

（III）解：

延长NM，CD交于点E.

∵PC⊥平面AMN，∴NE为CE在平面AMN内的射影

∴∠CEN为CD（即（CE）与平在AMN所成的角

∵CD⊥PD，EN⊥PN，∴∠CEN=∠MPN.

在Rt△PMN中，

∴CD与平面AMN所成的角的大小为

6．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°.BC=CC1=a，AC=2a.

（I）求证：

AB1⊥BC1；

（II）求二面角B—AB1—C的大小；

（III）求点A1到平面AB1C的距离.

（1）证明：

∵ABC—A1B1C1是直三棱柱，

∴CC1⊥平面ABC，∴AC⊥CC1.

∵AC⊥BC，∴AC⊥平面B1BCC1.

∴B1C是AB1在平面B1BCC1上的射影.

∵BC=CC1，∴四边形B1BCC1是正方形，

∴BC1⊥B1C.根据三垂线定理得，

AB1⊥BC1

（2）解：

设BC1∩B1C=O，作OP⊥AB1于点P，

连结BP.∵BO⊥AC，且BO⊥B1C，

∴BO⊥平面AB1C.

∴OP是BP在平面AB1C上的射影.

根据三垂线定理得，AB1⊥BP.

∴∠OPB是二面角B—AB1—C的平面角

∵△OPB1~△ACB1，∴∴

在Rt△POB中，，

∴二面角B—AB1—C的大小为

（3）解：

[解法1]∵A1C1//AC，A1C1平

面AB1C，∴A1C1//平面AB1C.∴点A1到

平面AB1C的距离与点C1到平面AB1C.的

距离相等.∵BC1⊥平面AB1C，

∴线段C1O的长度为点A1到平面AB1C的

距离.

∴点A1到平面AB1C的距离为

[解法2]连结A1C，有，设点A1到平面AB1C的距离为h.

∵B1C1⊥平面ACC1A1，∴，

又，

∴∴点A1到平面AB1C的距离为

7．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E为DC的中点，沿AE将△AED折起，使二面角D－AE－B为60 ．

（Ⅰ）求DE与平面AC所成角的大小；

（Ⅱ）求二面角D－EC－B的大小．

A

D

B

C

E

A

B

C

E

D

第10题图

答案：

如图1，过点D作DM⊥AE于M，延长DM与BC交于N，在翻折过程中DM⊥AE，MN⊥AE保持不变，翻折后，如图2，∠DMN为二面角D－AE－B的平面角，∠DMN＝60 ，AE⊥平面DMN，又因为AE平面AC，则AC⊥平面DMN．

（Ⅰ）在平面DMN内，作DO⊥MN于O，

∵平面AC⊥平面DMN，

∴DO⊥平面AC．

连结OE，DO⊥OE，∠DEO为DE与平面AC所成的角．

如图1，在直角三角形ADE中，AD＝3，DE＝2，

如图2，在直角三角形DOM中，在直角三角形DOE中，，则

∴DE与平面AC所成的角为

（Ⅱ）如图2，在平面AC内，作OF⊥EC于F，连结DF，

∵DO⊥平面AC，∴DF⊥EC，∴∠DFO为二面角D－EC－B的平面角．

如图1，作OF⊥DC于F，则Rt△EMD∽Rt△OFD，

∴

如图2，在Rt△DOM中，OM＝DMcos∠DMO＝DM·cos60 ＝．

如图1，

在Rt△DFO中，

∴二面角D－EC－B的大小为．

8．直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝CB＝AA1＝2，∠ACB＝90°，E是BB1的中点，

D∈AB，∠A1DE＝90°.

（Ⅰ）求证：

CD⊥平面ABB1A1；

（Ⅱ）求二面角D－A1C－A的大小.

（Ⅱ）解：

9．如图，已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC=a，点A1在底面ABC上的射影

A

B

B1

C1

A1

D

C

恰为AC的中点D，BA1⊥AC1。

（I）求证：

BC⊥平面A1ACC1；

（II）求点A1到AB的距离

（III）求二面角B—AA1—C的正切值

解：

答案：

如图，已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC=a，点A1在底面ABC上的射影

恰为AC的中点D，BA1⊥AC1。

（I）求证：

BC⊥平面A1ACC1；（II）求点A1到AB的距离

（III）求二面角B—AA1—C的正切值

解：

（1）由题意，A1D⊥平面ABC，∴A1D⊥BC。

又AC⊥BC，∴BC⊥平面A1ACC1

（II）过D作DH⊥AB于H，又A1D⊥平面ABC，∴AB⊥A1H

∴A1H是H1到AB的距离

∵BA1⊥AC1，BC⊥平面A1ACC1，由三垂线定理逆定理，得A1C⊥AC1

∴A1ACC1是菱形∴A1A=AC=a,A1D=.

10．

如图，正三棱柱AC1中，AB=2，D是AB的中点，E是A1C1的中点，F是B1B中点，异面直线CF与DE所成的角为90°.

（1）求此三棱柱的高；

（2）求二面角C—AF—B的大小.

解：

（1）取BC、C1C的中点分别为H、N，连结HC1，

连结FN，