高三精选立体几何大题(含详细解答).doc

1、立体几何大题训练1如下图，一个等腰直角三角形的硬纸片ABC中，ACB90，AC4cm，CD是斜边上的高沿CD把ABC折成直二面角ABC第1题图ABCD第1题图（1）如果你手中只有一把能度量长度的直尺，应该如何确定A，B的位置，使二面角ACDB是直二面角？证明你的结论（2）试在平面ABC上确定一个P，使DP与平面ABC内任意一条直线都垂直，证明你的结论（3）如果在折成的三棱锥内有一个小球，求出小球半径的最大值解：（1）用直尺度量折后的AB长，若AB4cm，则二面角ACDB为直二面角 ABC是等腰直角三角形，又 ADDC，BDDC ADC是二面角ACDB的平面角（2）取ABC的中心P，连DP，则D

2、P满足条件 ABC为正三角形，且 ADBDCD 三棱锥DABC是正三棱锥，由P为ABC的中心，知DP平面ABC， DP与平面内任意一条直线都垂直（3）当小球半径最大时，此小球与三棱锥的4个面都相切，设小球球心为0，半径为r，连结OA，OB，OC，OD，三棱锥被分为4个小三棱锥，且每个小三棱锥中有一个面上的高都为r，故有代入得，即半径最大的小球半径为 2如图，已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为3，侧棱长为4，连结A1B，过A作AFA1B垂足为F，且AF的延长线交B1B于E。（）求证：D1B平面AEC；（）求三棱锥BAEC的体积；（）求二面角BAEC的正切值证（）ABCDA1B1C1

3、D1是正四棱柱，D1DABCD.连AC，又底面ABCD是正方形，ACBD，由三垂线定理知 D1BAC.同理，D1BAE，AEAC = A，D1B平面AEC . 解（）VBAEC = VEABC . EB平面ABC，EB的长为E点到平面ABC的距离.RtABE RtA1AB，EB =VBAEC = VEABC =SABCEB =33 = （10分） 解（）连CF， CB平面A1B1BA，又BFAE，由三垂线定理知，CFAE .于是，BFC为二面角BAEC的平面角，在RtABE中，BF =，在RtCBF中，tgBFC =， BFC = arctg.即二面角BAEC的大小为arctg. 3如图，已知

4、多面体ABCDE中，AB平面ACD，DE平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2，AB=1，F是CD的中点 （）求证：AF平面BCE；（）求多面体ABCDE的体积；（）求二面角C-BE-D 的正切值 证：（）取CE中点M，连结FM，BM，则有四边形AFMB是平行四边形AF/BM，平面BCE，平面BCE，AF/平面BCE （）由于DE平面ACD，则DEAF又ACD是等边三角形，则AFCD而CDDE=D，因此AF平面CDE又BM/AF，则BM平面CDE （）设G为AD中点，连结CG，则CGAD由DE平面ACD，平面ACD，则DECG，又ADDE=D，CG平面ADEB作GHBE于H，连结

5、CH，则CHBECHG为二面角C-BE-D的平面角 由已知AB=1，DE=AD=2，则，不难算出，4已知：ABCD是矩形，设PA=a，PA平面ABCD.M、N分别是AB、PC的中点.（）求证：MNAB；（）若PD=AB，且平面MND平面PCD，求二面角PCDA的大小；（）在（）的条件下，求三棱锥DAMN的体积.（）连结AC，AN. 由BCAB，AB是PB在底面ABCD上的射影. 则有BCPB. 又BN是RtPBC斜边PC的中线， 即. 由PA底面ABCD，有PAAC，则AN是RtPAC斜边PC的中线，即 又M是AB的中点， （也可由三垂线定理证明） （）由PA平面ABCD，ADDC，有PDDC

6、. 则PDA为平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角 由PA=a，设AD=BC=b，CD=AB=c， 又由AB=PD=DC，N是PC中点，则有DNPC 又平面MND平面PCD于ND， PC平面MND PCMN，而N是PC中点，则必有PM=MC. 此时.即二面角PCDA的大小为 （），连结BD交AC于O，连结NO，则NO PA. 且NO平面AMD，由PA=a5如图，四棱锥PABCD的底面是正方形,PA底面ABCD，PA=AD=2，点M、N分别在棱PD、PC上，且PC平面AMN.（）求证：AMPD；（）求二面角PAMN的大小；（）求直线CD与平面AMN所成角的大小. （I）证明：ABCD是正方

7、形，CDAD，PA底面ABCD，PACD.CD平面PAD AM平面PAD，CDAM.PC平面AMN，PCAM.AM平面PCD.AMPD （II）解：AM平面PCD（已证）.AMPM，AMNM.PMN为二面角P-AM-N的平面角 PN平面AMN，PNNM.在直角PCD中，CD=2，PD=2，PC=2.PA=AD，AMPD，M为PD的中点，PM=PD=由RtPMNRtPCD，得 . 即二面角PAMN的大小为. （III）解：延长NM，CD交于点E.PC平面AMN，NE为CE在平面AMN内的射影CEN为CD（即（CE）与平在AMN所成的角 CDPD，ENPN，CEN=MPN.在RtPMN中，CD与平

8、面AMN所成的角的大小为 6如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90. BC=CC1=a，AC=2a.（I）求证：AB1BC1；（II）求二面角BAB1C的大小；（III）求点A1到平面AB1C的距离.（1）证明：ABCA1B1C1是直三棱柱，CC1平面ABC， ACCC1.ACBC， AC平面B1BCC1.B1C是AB1在平面B1BCC1上的射影.BC=CC1， 四边形B1BCC1是正方形，BC1B1C. 根据三垂线定理得， AB1BC1 （2）解：设BC1B1C=O，作OPAB1于点P，连结BP.BOAC，且BOB1 C， BO平面AB1C.OP是BP在平面AB1C上的射影.根据

9、三垂线定理得，AB1BP.OPB是二面角BAB1C的平面角 OPB1ACB1， 在RtPOB中，二面角BAB1C的大小为 （3）解：解法1 A1C1/AC，A1C1平面AB1C，A1C1/平面AB1C. 点A1到平面AB1C的距离与点C1到平面AB1C.的距离相等.BC1平面AB1C， 线段C1O的长度为点A1到平面AB1C的距离.点A1到平面AB1C的距离为 解法2连结A1C，有，设点A1到平面AB1C的距离为h.B1C1平面ACC1A1， ，又， 点A1到平面AB1C的距离为 7在矩形ABCD中，AB4，BC3，E为DC的中点，沿AE将AED折起，使二面角DAEB为60（）求DE与平面AC

10、所成角的大小；（）求二面角DECB的大小ADBCEABCED第10题图答案：如图1，过点D作DMAE于M，延长DM与BC交于N，在翻折过程中DMAE，MNAE保持不变，翻折后，如图2，DMN为二面角DAEB的平面角，DMN60，AE平面DMN，又因为AE平面AC，则AC平面DMN （）在平面DMN内，作DOMN于O，平面AC平面DMN，DO平面AC连结OE，DOOE，DEO为DE与平面AC所成的角如图1，在直角三角形ADE中，AD3，DE2，如图2，在直角三角形DOM中，在直角三角形DOE中，则DE与平面AC所成的角为 （）如图2，在平面AC内，作OFEC于F，连结DF，DO平面AC，DFEC

11、，DFO为二面角DECB的平面角如图1，作OFDC于F，则RtEMDRtOFD，如图2，在RtDOM中，OMDMcosDMODMcos60如图1，在RtDFO中，二面角DECB的大小为 8直三棱柱ABCA1B1C1中，ACCBAA12，ACB90，E是BB1的中点，DAB，A1DE90.（）求证：CD平面ABB1A1；（）求二面角DA1CA的大小.（）解：9如图，已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，BCA=90，AC=BC=a，点A1在底面ABC上的射影ABB1C1A1DC恰为AC的中点D，BA1AC1。（I）求证：BC平面A1ACC1； （II）求点A1到AB的距离（III）求二面角BAA1C

12、的正切值 解：答案：如图，已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，BCA=90，AC=BC=a，点A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，BA1AC1。（I）求证：BC平面A1ACC1； （II）求点A1到AB的距离（III）求二面角BAA1C的正切值 解：（1）由题意，A1D平面ABC，A1DBC。又ACBC，BC平面A1ACC1（II）过D作DHAB于H，又A1D平面ABC，ABA1HA1H是H1到AB的距离BA1AC1，BC平面A1ACC1，由三垂线定理逆定理，得A1CAC1 A1ACC1是菱形 A1A=AC=a, A1D=.10如图，正三棱柱AC1中，AB=2，D是AB的中点，E是A1C1的中点，F是B1B中点，异面直线CF与DE所成的角为90. （1）求此三棱柱的高； （2）求二面角CAFB的大小.解：（1）取BC、C1C的中点分别为H、N，连结HC1，连结FN，