高三文科数学测试题二附答案.doc

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2019届高三理科数学测试卷

（二）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：

每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：

用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合，若全集，，则（）

A． B． C． D．

2．设是虚数单位，若复数是纯虚数，则（）

A． B． C． D．

3．若，，则的值为（）

A． B． C． D．

4．设平面向量，，，则下列说法正确的是（）

A．是的充分不必要条件 B．与的夹角为

C． D．与的夹角为

5．已知双曲线的离心率为，且经过点，则双曲线的实轴长为（）

A． B． C． D．

6．若，则二项式的展开式中的常数项为（）

A． B． C． D．

7．如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入，分别为，4，则输出的（）

A． B． C． D．

8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A． B． C． D．

9．已知，，，当时，均有则实数的取值范围是（）

A． B．

C． D．

10．某旅行社租用，两种型号的客车安排名客人旅行，，两种车辆的载客量分别为人和人，租金分别为元/辆和元/辆，旅行社要求租车总数不超过辆，且型车不多于型车辆，则租金最少为（）

A．元 B．元 C．元 D．元

11．已知函数的图象经过点，在区间上为单调函数，且的图象向左平移个单位后与原来的图象重合，当，，且时，，则（）

A． B． C． D．

12．已知点是曲线上任意一点，记直线（为坐标原点）的斜率为，则（）

A．存在点使得 B．对于任意点都有

C．对于任意点都有 D．至少存在两个点使得

第Ⅱ卷

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分．

13．已知平面向量，，则事件“”的概率为__________．

14．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，为抛物线上任意一点，且满足，则_________．

15．如图所示，在平面四边形中，，，，，，则__________．

16．在三棱锥中，底面为，且，斜边上的高为，三棱锥的外接球的直径是，若该外接球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为__________．

三、解答题：

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）已知数列的前项和为，，，

（1）求的通项公式；

（2）记，数列的前项和为，求证：

．

18．（12分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为的中点．

（1）求证：

平面平面；

（2），在线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为．请说明理由．

19．（12分）某房产中介公司2017年9月1日正式开业，现对2017年9月1日到2018年5月1日前个月的二手房成交量进行统计，表示开业第个月的二手房成交量，得到统计表格如下：

（1）统计中常用相关系数来衡量两个变量之间线性关系的强弱，统计学认为，对于变量，，如果，那么相关性很强；如果，那么相关性一般；如果，那么相关性很弱，通过散点图初步分析可用线性回归模型拟合与的关系，计算得相关系数，并回答是否可以认为两个变量具有很强的线性相关关系（计算结果精确到）；

（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程（计算结果精确到），并预测该房地产中介公司2018年6月份的二手房成交量（计算结果四舍五入取整数）；

（3）该房地产中介为增加业绩，决定针对二手房成交客户开展抽奖活动，若抽中“一等奖”获千元奖金；抽中“二等奖”获千元奖金；抽中“祝您平安”，则没有奖金．

已知一次抽奖活动中获得“一等奖”的概率为，获得“二等奖”的概率为，现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额（千元）的分布列及数学期望．

参考数据：

，，，，，

参考公式：

，，．

20．（12分）设椭圆的右焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．

（1）求椭圆的方程；

（2）若上存在两点，，椭圆上存在两个，点满足：

，，三点共线，，，三点共线，且，求四边形的面积的最小值．

21．（12分）已知，

（1）求的单调区间；

（2）设，，为函数的两个零点，求证：

．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（10分）【选修4-4：

坐标系与参数方程】

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线上的点对应的参数，射线与曲线交于点，

（1）求曲线、的直角坐标方程；

（2）若点，在曲线上的两个点且，求的值．

23．（10分）【选修4-5：

不等式选讲】

已知函数．

（1）求的解集；

（2）设函数，若对成立，求实数的取值范围．

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高三理科数学

（二）答案

一、选择题．

1．【答案】B

2．【答案】D

3．【答案】C

4．【答案】B

5．【答案】C

6．【答案】A

7．【答案】D

8．【答案】B

9．【答案】C

10．【答案】C

11．【答案】B

12．【答案】B

二、填空题．

13．【答案】

14．【答案】

15．【答案】3

16．【答案】

三、解答题．

17．【答案】

（1）；

（2）见解析．

【解析】

（1），，，所以，

又，所以，符合上式，

所以是以为首项，以为公比的等比数列．所以．

（2）由

（1）知，

所以，

所以

．

18．【答案】

（1）见解析；

（2）见解析．

【解析】

（1）∵平面平面，，

平面平面，∴平面，又∵平面，

∴，又∵，，

∴平面，平面，即，

在中，，为的中点，

∴，，∴平面，

又平面，∴平面平面．

（2）如图建立空间直角坐标系，设，

则，，，，，

设，，，，，

因为，，

所以平面，故为平面的一个法向量，

设平面，且，则由得，

由得，从而，

，

∴，解得或，即在处或处．

19．【答案】

（1）见解析；

（2）见解析；（3）见解析．

【解析】

（1）依题意可知，，，

，

因为，所以变量，线性相关性很强．

（2），

，

即关于的回归方程为，

当，，

所以预计2018年6月份的二手房成交量为．

（3）二人所获奖金总额的所有可能取值有0，3，6，9，12千元，

，，

，，

，

所以奖金总额的分布列如下表：

千元．

20．【答案】

（1）；

（2）．

【解析】

（1）∵过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为，∴，

∵离心率为，∴，又，解得，，，

∴椭圆的方程为．

（2）①当直线的斜率不存在时，直线的斜率为，

此时，，；

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立，

得，

设，的横坐标分别为，，

则，∴，

由可得直线的方程为，联立椭圆的方程，消去，

得，

设，的横坐标为，，则，，

∴，

，令，

则，

综上．

21．【答案】

（1）见解析；

（2）见解析．

【解析】

（1）∵，∴，

当时，∴，

即的单调递增区间为，无减区间；

当时，∴，

由，得，

时，，

时，，

∴当时，的单调递增区间为，

单调递减区间为．

（2）由

（1）知的单调递增区间为，单调递减区间为，

不妨设，由条件知，即，

构造函数，与图象两交点的横坐标为，，

由可得，

而，∴，

知在区间上单调递减，在区间上单调递增，

可知

欲证，只需证，即证，

考虑到在上递增，只需证，

由知，只需证，

令，

则，

所以为增函数，又，结合知，

即成立，即成立．

22．【答案】

（1）见解析；

（2）．

【解析】

（1）将及对应的参数，代入，

得，即，所以曲线的方程为，为参数，即．

设圆的半径为，由题意可得，圆的极坐标方程为

（或），

将点代入，得，即，

所以曲线的极坐标方程为即．

（2）设，在曲线上，

所以，，

所以．

23．【答案】

（1）或；

（2）．

【解析】

（1），∴，即，

∴①或②或③，

解不等式①：

；②：

无解；③：

，

所以的解集为或．

（2）即的图象恒在，图象的上方，

可以作出的图象，

而，图象为恒过定点，且斜率变化的一条直线，

作出函数，图象如图，其中，

可得，∴，由图可知，要使得的图象恒在图象的上方，

实数的取值范围为．

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