高三文科数列专题(师).doc

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数列专题复习

一、等差数列的有关概念：

1、等差数列的判断或证明方法：

定义法（或。

）

2、等差数列的通项：

或。

如

（1）等差数列中，，，则通项　　　　；

（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______

3、等差数列的前和：

，。

如

（1）数列中，，，前n项和，则＝＿，＝＿（3.

（1）答：

，）；

（2）当时,则有，特别地，当时，则有.

如

（1）等差数列中，，则＝____

如等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为。

如

（1）在等差数列中，S11＝22，则＝______

二、等比数列的有关概念：

1、等比数列的判断方法：

定义法，其中或。

（1）数列中，=4+1（）且=1，若，求证：

数列｛｝是等比数列。

2、等比数列的通项：

或。

如等比数列中，，，前项和＝126，求和.

3、等比数列的前和：

当时，；当时，。

如

（1）等比数列中，＝2，S99=77，求

4、等比中项：

若成等比数列，那么A叫做与的等比中项。

5.等比数列的性质：

（1）当时，则有，特别地，当时，则有.

如

（1）在等比数列中，，公比q是整数，则=___

（2）各项均为正数的等比数列中，若，则

如

（1）已知且，设数列满足，且，则　　　　　.

（2）在等比数列中，为其前n项和，若，则的值为______

三、数列通项公式的求法

一、公式法

①；

例已知数列满足

二、累加法

例已知数列满足，求数列的通项公式。

例已知数列满足，求数列的通项公式。

三、累乘法

例已知数列满足，求数列的通项公式。

四、取倒数法

例已知数列{}中，其中，且当n≥2时，，求通项公式。

五、代值找规律

例已知数列{}中，其中

六、待定系数法

例已知数列满足，求数列的通项公式。

例已知数列满足，求数列的通项公式。

【反思归纳】递推关系形如“”适用于待定系数法或特征根法：

①令；

②在中令，；

③由得，.

四、数列求和的基本方法和技巧

一、利用常用求和公式求和

1、等差数列求和公式：

2、等比数列求和公式：

二、错位相减法求和

这种方法主要用于求数列{an·　bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和。

例：

1.已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0，S5=﹣5

（1）求{an}的通项公式

（2）求数列{（2﹣an）2n}的前n项和．

解：

（1）设{an}的公差为d，则Sn=na1+

由已知可得，解得a1=1，d=1．故{an}的通项公式为an=2﹣n．

（2）令bn=（2﹣an）2n=n•2n．

令Tn=b1+b2+…+bn﹣1+bn=1•21+2•22+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n

有2Tn=1•22+2•23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1．

两式相减得：

﹣Tn=21+22+…+2n﹣n•2n+1=﹣n•2n+1=﹣2+（1﹣n）•2n+1

则Tn=2+（n﹣1）•2n+1

2.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N*）．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）求数列{}的前n项和Tn．

解：

（1）∵an+1=2Sn+1（n∈N*），∴an=2Sn﹣1+1（n≥2），两式相减得：

an+1=3an（n≥2），

由an+1=2Sn+1得：

a2=2a1+1=3，∴a2=3a1满足上式，

∴数列{an}是首项为1、公比为3的等比数列，∴an=3n﹣1；

（2）∵an=3n﹣1，∴=，∴Tn=++…++，

∴Tn=++…++，

两式相减得：

Tn=3+2（++…+）﹣=4﹣，

∴Tn=6﹣．

三、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

[例7]求数列的前n项和：

，…

解：

设

当a＝1时，＝

当时，＝

五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：

（1）

（2）

（3）

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