高三数学平面向量知识点与题型总结(文科).doc

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知识点归纳

一.向量的基本概念与基本运算

1、向量的概念：

①向量：

既有大小又有方向的量向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．

②零向量：

长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行

③单位向量：

模为1个单位长度的向量

④平行向量（共线向量）：

方向相同或相反的非零向量

⑤相等向量：

长度相等且方向相同的向量

2、向量加法：

设，则+==

（1）；

（2）向量加法满足交换律与结合律；

，但这时必须“首尾相连”．

3、向量的减法：

①相反向量：

与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量

②向量减法：

向量加上的相反向量叫做与的差，③作图法：

可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）

4、实数与向量的积：

实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下：

（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，λ的方向与的方向相同；当时，λ的方向与的方向相反；当时，，方向是任意的

5、两个向量共线定理：

向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=

6、平面向量的基本定理：

如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：

，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底

二.平面向量的坐标表示

1平面向量的坐标表示：

平面内的任一向量可表示成，记作=（x,y）。

2平面向量的坐标运算：

（1）若，则

（2）若，则

（3）若=（x,y），则=（x,y）

（4）若，则

（5）若，则

若，则

三．平面向量的数量积

1两个向量的数量积：

已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos

叫做与的数量积（或内积）规定

2向量的投影：

︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影

3数量积的几何意义：

·等于的长度与在方向上的投影的乘积

4向量的模与平方的关系：

5乘法公式成立：

；

6平面向量数量积的运算律：

①交换律成立：

②对实数的结合律成立：

③分配律成立：

特别注意：

（1）结合律不成立：

；

（2）消去律不成立不能得到

（3）=0不能得到=或=

7两个向量的数量积的坐标运算：

已知两个向量，则·=

8向量的夹角：

已知两个非零向量与，作=,=,则∠AOB=（）叫做向量与的夹角

cos==

当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=00，当且仅当与反方向时θ=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题

9垂直：

如果与的夹角为900则称与垂直，记作⊥

10两个非零向量垂直的充要条件：

⊥·＝O平面向量数量积的性质

【练习题】

1、给出下列命题：

①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；

②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；

③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；

④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．

其中假命题的个数为（　　）

A．1　　　　　　　　　　　 B．2

C．3 D．4

2．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是（　　）

A．0 B．1

C．2 D．3

3、设两个非零向量a与b不共线．

（1）若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3（a－b）．求证：

A，B，D三点共线；

（2）试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．

4、已知两点A（4,1），B（7，－3），则与同向的单位向量是（　　）

A. B.

C. D.

5、在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，＝λ＋μ，则λ＋μ的值为（　　）

A.　　　　　　　　 B.

C. D．1

6、已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.

7、已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为120°，a＋b＋c＝0，则a与c的夹角为（　　）

A．150°　　　　　　　 　 B．90°

C．60° D．30°

8、已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.

9、设向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a·（a－b）＝0，则|2a＋b|＝（　　）

A．2　　　　　　　　　 B．2

C．4 D．4

10、已知向量a＝（sinx,1），b＝.

（1）当a⊥b时，求|a＋b|的值；

（2）求函数f（x）＝a·（b－a）的最小正周期．

11、已知f（x）＝a·b，其中a＝（2cosx，－sin2x），b＝（cosx,1）（x∈R）．

（1）求f（x）的周期和单调递减区间；

（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f（A）＝－1，a＝，·＝3，求边长b和c的值（b>c）．

A

O

M

N

P

B

12、如图，在中，a，b,M为OB的中点，N为AB的中点，P为ON、AM的交点，则等（）

AabBab

CabDab

13．△ABC中，AB边的高为CD，若＝a，＝b，a·b＝0，

|a|＝1，|b|＝2，则＝（　　）

A.a－b B.a－b

C.a－b D.a－b

14．（2012·郑州质检）若向量a＝（x－1,2），b＝（4，y）相互垂直，则9x＋3y的最小值为（　　）

A．12 B．2

C．3 D．6

15．（2012·山西省四校联考）在△OAB（O为原点）中，＝（2cosα，2sinα），＝（5cosβ，5sinβ），若·＝－5，则△OAB的面积S＝（　　）

A. B.

C．5 D.

16、若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，（a－c）·（b－c）≤0，则|a＋b－c|的最大值为（　　）．

A.－1B．1C.D．2

17、已知△ABC为等边三角形，AB＝2.设点P，Q满足＝λ，＝（1－λ），λ∈R，若·＝－，则λ＝（　　）．

A.B.C.D.

18如图，已知平行四边形ABCD的顶点A（0，0），B（4,1），C（6,8）．

（1）求顶点D的坐标；

（2）若＝2，F为AD的中点，求AE与BF的交点I的坐标．

．

【课后练习题】

1．下列等式：

①0a＝－a；②－（－a）＝a；③a＋（－a）＝0；④a＋0a；⑤a－b＝a＋（－b）．正确的个数是（　　）

A．2　　　　　　　　　　　　 B．3

C．4 D．5

解析：

选C　

2．（2012·福州模拟）若a＋b＋c＝0，则a，b，c（　　）

A．都是非零向量时也可能无法构成一个三角形

B．一定不可能构成三角形

C．都是非零向量时能构成三角形

D．一定可构成三角形

解析：

选A　

3．（2012·威海质检）已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若＋2＝3，则的值为（　　）

A. B.

C. D.

解析：

选A　

4．（2012·海淀期末）如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），那么＝（　　）

A.－　　　　 B.＋

C.＋ D.－

解析：

选D　

5．（2013·揭阳模拟）已知点O为△ABC外接圆的圆心，且＋＋＝0，则△ABC的内角A等于（　　）

A．30° B．60°

C．90° D．120°

解析：

选A　

6．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足＋＋＝，则点P与△ABC的关系为（　　）

A．P在△ABC内部

B．P在△ABC外部

C．P在AB边所在直线上

D．P是AC边的一个三等分点

解析：

选D　

7．（2012·郑州五校联考）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||＝________.

答案：

2

8．（2013·大庆模拟）已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量，，，满足等式＋＝＋，则四边形ABCD的形状为________．

答案：

平行四边形

9．设向量e1，e2不共线，＝3（e1＋e2），＝e2－e1，＝2e1＋e2，给出下列结论：

①A，B，C共线；②A，B，D共线；③B，C，D共线；④A，C，D共线，其中所有正确结论的序号为________．

答案：

④

10．设i，j分别是平面直角坐标系Ox，Oy正方向上的单位向量，且＝－2i＋mj，＝ni＋j，＝5i－j，若点A，B，C在同一条直线上，且m＝2n，求实数m，n的值．

或

7．已知向量a＝，b＝（x,1），其中x>0，若（a－2b）∥（2a＋b），则x＝________.

答案：

4

8．P＝{a|a＝（－1,1）＋m（1,2），m∈R}，Q＝{b|b＝（1，－2）＋n（2,3），n∈R}是两个向量集合，则P∩Q等于________．

答案：

9．已知向量＝（1，－3），＝（2，－1），＝（k＋1，k－2），若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是________．

答案：

k≠1

10．已知A（1,1），B（3，－1），C（a，b）．

（1）若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；

（2）若＝2，求点C的坐标．

（5，－3）．

11．已知a＝（1,0），b＝（2,1）．求：

（1）|a＋3b|；

（2）当k为何实数时，ka－b与a＋3b平行，平行时它们是同向还是反向？

方向相反．

12．已知O为坐标原点，A（0,2），B（4,6），＝t1＋t2.

（1）求点M在第二或第三象限的充要条件；

（2）求证：

当t1＝1时，不论t2为何实数，A，B，M三点都共线．

8．已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.

答案：

3

9．已知向量a＝（2，－1），b＝（x，－2），c＝（3，y），若a∥b，（a＋b）⊥（b－c），M（x，y），N（y，x），则向量的模为________．

答案：

8

10．已知a＝（1,2），b＝（－2，n），a与b的夹角是45°.

（1）求b；

（2）若c与b同向，且a与c－a垂直，求c.

c＝b＝（－1,3）．

11．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.

（1）计算：

①|a＋b|，②|4a－2b|；

（2）当k为何值时，（a＋2b）⊥（ka－b）?

即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．

12．设在平面上有两个向量a＝（cosα，sinα）（0°≤α<360°），b＝.

（1）求证：

向量a＋b与a－b垂直；

（2）当向量a＋b与a－b的模相等时，求α的大小．

α＝30°或α＝210°.