高三-解三角形知识点总结及典型例题-自己总结的(1).doc

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解三角形导学案

一、知识点复习

1、正弦定理及其变形

2、正弦定理适用情况：

（1）已知两角及任一边

（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）

已知a，b和A，求B时的解的情况:

如果sinA≥sinB，则B有唯一解；如果sinA

如果sinB=1，则B有唯一解；如果sinB>1，则B无解.

3、余弦定理及其推论

4、余弦定理适用情况：

（1）已知两边及夹角；

（2）已知三边。

5、常用的三角形面积公式

（1）；

（2）（两边夹一角）；

6、三角形中常用结论

（1）

（2）

（3）在△ABC中，A+B+C=π，所以sin（A+B）=sinC；cos（A+B）=－cosC；tan（A+B）=－tanC。

二、典型例题

题型1

边角互化

[例1]在中，若，则角的度数为

【解析】由正弦定理可得a:

b:

c=3:

5:

7，,令a、b、c依次为3、5、7，则cosC===因为，所以C=

题型2三角形解的个数

[例3]在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是【】

A、，，； B、，，；

C、，，； D、，，。

题型3面积问题

[例4]的一个内角为120°，并且三边构成公差为4的等差数列，则的面积为

【解析】设△ABC的三边分别：

x－4、x、x＋4，

∠C=120°，∴由余弦定理得：

﹙x＋4﹚²=﹙x－4﹚²＋x²－2×﹙x－4﹚×x×cos120°，解得：

x=10

∴△ABC三边分别为6、10、14。

题型4判断三角形形状

[例5]在中，已知,判断该三角形的形状。

【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。

方法一：

由正弦定理，即知

由，得或

即为等腰三角形或直角三角形

方法二：

同上可得

由正、余弦定理，即得：

即

或

即为等腰三角形或直角三角形

【点拨】判断三角形形状问题，一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系，通过因式分解等方法化简得到边与边关系式，从而判断出三角形的形状；（角化边）

二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系，通过三角恒等变形以及三角形内角和定理得到内角之间的关系，从而判断出三角形的形状。

（边化角）

题型5正弦定理、余弦定理的综合运用

[例6]在中，分别为角A，B，C的对边，且且

（1）当时，求的值；

（2）若角B为锐角，求p的取值范围。

【解析】

（1）由题设并由正弦定理，得，解得，或

（2）由余弦定理，=

即，因为，所以，由题设知，所以

三、课堂练习：

1.在中，若则角C=

2.设是外接圆的半径，且，试求面积的最大值。

3、在中，D为边BC上一点，BD=33，，，求AD。

4.在中，已知分别为角A，B，C的对边，若，试确定形状。

5.在中，分别为角A，B，C的对边，已知

（1）求；

（2）若求的面积。

四、课后作业

1、在中，若，且，则是

A、等边三角形 B、钝角三角形

C、直角三角形 D、等腰直角三角形

2、△ABC中若面积S=则角C=

3

4、的三个内角为，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。

5、在中，分别为角A，B，C的对边，且满足

（1）求角C的大小

（2）求的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小。

4