高一数学圆的方程、直线与圆位置关系典型例题.doc
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高一数学圆的方程典型例题
类型一：
圆的方程
例1求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点与圆的关系．
分析：
欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点与圆的位置关系，只须看点与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．
解法一：
（待定系数法）
设圆的标准方程为．∵圆心在上，故．∴圆的方程为．又∵该圆过、两点．
∴解之得：
，．所以所求圆的方程为．
解法二：
（直接求出圆心坐标和半径）
因为圆过、两点，所以圆心必在线段的垂直平分线上，又因为，故的斜率为1，又的中点为，故的垂直平分线的方程为：
即．
又知圆心在直线上，故圆心坐标为∴半径．
故所求圆的方程为．又点到圆心的距离为
．∴点在圆外．
例2求半径为4，与圆相切，且和直线相切的圆的方程．
解：
则题意，设所求圆的方程为圆．
圆与直线相切，且半径为4，则圆心的坐标为或．
又已知圆的圆心的坐标为，半径为3．
若两圆相切，则或．
（1）当时，，或（无解），故可得．∴所求圆方程为，或．
（2）当时，，或（无解），．
∴所求圆的方程为，或．
例3求经过点，且与直线和都相切的圆的方程．
分析：
欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．
解：
∵圆和直线与相切，∴圆心在这两条直线的交角平分线上，
又圆心到两直线和的距离相等．
∴．∴两直线交角的平分线方程是或．
又∵圆过点，∴圆心只能在直线上．
设圆心∵到直线的距离等于，
∴．化简整理得．解得：
或
∴圆心是，半径为或圆心是，半径为．
∴所求圆的方程为或．
例4、设圆满足：
（1）截轴所得弦长为2；
（2）被轴分成两段弧，其弧长的比为，在满足条件
（1）
（2）的所有圆中，求圆心到直线的距离最小的圆的方程．
解法一：
设圆心为，半径为．则到轴、轴的距离分别为和．
由题设知：
圆截轴所得劣弧所对的圆心角为，故圆截轴所得弦长为．
∴又圆截轴所得弦长为2．∴．
又∵到直线的距离为
∴
当且仅当时取“=”号，此时．
这时有∴或又
故所求圆的方程为或
解法二：
同解法一，得
．∴．∴．
将代入上式得：
．
上述方程有实根，故，∴．
将代入方程得．又 ∴．由知、同号．
故所求圆的方程为或．
类型二：
切线方程、切点弦方程、公共弦方程
例5 已知圆，求过点与圆相切的切线．
解：
∵点不在圆上，∴切线的直线方程可设为
根据
∴解得所以即
因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为．
说明：
上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．
本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用，求出切点坐标、的值来解决，此时没有漏解．
例6两圆与相交于、两点，求它们的公共弦所在直线的方程．
分析：
首先求、两点的坐标，再用两点式求直线的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．
解：
设两圆、的任一交点坐标为，则有：
① ②
①－②得：
．
∵、的坐标满足方程．
∴方程是过、两点的直线方程．
又过、两点的直线是唯一的．
∴两圆、的公共弦所在直线的方程为．
练习：
1．求过点，且与圆相切的直线的方程．
解：
设切线方程为，即，
∵圆心到切线的距离等于半径，
∴，解得，
∴切线方程为，即，
当过点的直线的斜率不存在时，其方程为，圆心到此直线的距离等于半径，
故直线也适合题意。
所以，所求的直线的方程是或．
2、过坐标原点且与圆相切的直线的方程为
解：
设直线方程为，即.∵圆方程可化为，∴圆心为（2，-1），半径为.依题意有，解得或，∴直线方程为或.
3、已知直线与圆相切，则的值为.
解：
∵圆的圆心为（1，0），半径为1，∴，解得或.
类型三：
弦长、弧问题
例8、求直线被圆截得的弦的长.
例9、直线截圆得的劣弧所对的圆心角为
解：
依题意得，弦心距，故弦长，从而△OAB是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为.
例10、求两圆和的公共弦长
类型四：
直线与圆的位置关系
例11、已知直线和圆，判断此直线与已知圆的位置关系.
例12、若直线与曲线有且只有一个公共点，求实数的取值范围.
解：
∵曲线表示半圆，∴利用数形结合法，可得实数的取值范围是或.
例13圆上到直线的距离为1的点有几个？
分析：
借助图形直观求解．或先求出直线、的方程，从代数计算中寻找解答．
解法一：
圆的圆心为，半径．
设圆心到直线的距离为，则．
如图，在圆心同侧，与直线平行且距离为1的直线与圆有两个交点，这两个交点符合题意．
又．
∴与直线平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意．
∴符合题意的点共有3个．
解法二：
符合题意的点是平行于直线，且与之距离为1的直线和圆的交点．设所求直线为，则，
∴，即，或，也即，或．
设圆的圆心到直线、的距离为、，则
，．
∴与相切，与圆有一个公共点；与圆相交，与圆有两个公共点．即符合题意的点共3个．
说明：
对于本题，若不留心，则易发生以下误解：
设圆心到直线的距离为，则．
∴圆到距离为1的点有两个．
显然，上述误解中的是圆心到直线的距离，，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．
到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断．
练习1：
直线与圆没有公共点，则的取值范围是
解：
依题意有，解得.∵，∴.
练习2：
若直线与圆有两个不同的交点，则的取值范围是.
解：
依题意有，解得，∴的取值范围是.
3、 圆上到直线的距离为的点共有（）．
（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个
分析：
把化为，圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于，所以选C．
4、 过点作直线，当斜率为何值时，直线与圆有公共点，如图所示．
分析：
观察动画演示，分析思路．
P
E
O
y
x
解：
设直线的方程为
即
根据有
整理得
解得．
类型五：
圆与圆的位置关系
例14、判断圆与圆的位置关系，
例15：
圆和圆的公切线共有条。
解：
∵圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，∴.∵，∴两圆相交.共有2条公切线。
练习
1：
若圆与圆相切，则实数的取值集合是.
解：
∵圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，且两圆相切，∴或，∴或，解得或，或或，∴实数的取值集合是.
2：
求与圆外切于点，且半径为的圆的方程.
解：
设所求圆的圆心为，则所求圆的方程为.∵两圆外切于点，∴，∴，∴，∴所求圆的方程为.
类型六：
圆中的对称问题
例16、圆关于直线对称的圆的方程是
G
O
B
N
M
y
A
x
图3
C
A’
例17 自点发出的光线射到轴上，被轴反射，反射光线所在的直线与圆相切
（1）求光线和反射光线所在的直线方程．
（2）光线自到切点所经过的路程．
分析、略解：
观察动画演示，分析思路．根据对称关系，首先求出点的对称点的坐标为，其次设过的圆的切线方程为
根据，即求出圆的切线的斜率为
或
进一步求出反射光线所在的直线的方程为或
最后根据入射光与反射光关于轴对称，求出入射光所在直线方程为
或
光路的距离为，可由勾股定理求得．
说明：
本题亦可把圆对称到轴下方，再求解．
类型七：
圆中的最值问题
例18：
圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是
解：
∵圆的圆心为（2，2），半径，∴圆心到直线的距离，∴直线与圆相离，∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是.
例19
（1）已知圆，为圆上的动点，求的最大、最小值．
（2）已知圆，为圆上任一点．求的最大、最小值，求的最大、最小值．
分析：
（1）、
（2）两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决．
解：
（1）（法1）由圆的标准方程．
可设圆的参数方程为（是参数）．
则
（其中）．
所以，．
（法2）圆上点到原点距离的最大值等于圆心到原点的距离加上半径1，圆上点到原点距离的最小值等于圆心到原点的距离减去半径1．
所以．．所以．．
（2）（法1）由得圆的参数方程：
是参数．
则．令，得，
．所以，．
即的最大值为，最小值为．
此时．
所以的最大值为，最小值为．
（法2）设，则．由于是圆上点，当直线与圆有交点时，如图所示，
两条切线的斜率分别是最大、最小值．
由，得．所以的最大值为，最小值为．
令，同理两条切线在轴上的截距分别是最大、最小值．
由，得．所以的最大值为，最小值为．
例20：
已知，，点在圆上运动，则的最小值是.
解：
设，则.设圆心为，则，∴的最小值为.
练习：
1：
已知点在圆上运动.
（1）求的最大值与最小值；
（2）求的最大值与最小值.
解：
（1）设，则表示点与点（2，1）连线的斜率.当该直线与圆相切时，取得最大值与最小值.由，解得，∴的最大值为，最小值为.
（2）设，则表示直线在轴上的截距.当该直线与圆相切时，取得最大值与最小值.由，解得，∴的最大值为，最小值为.
2设点是圆是任一点，求的取值范围．
分析一：
利用圆上任一点的参数坐标代替、，转化为三角问题来解决．
解法一：
设圆上任一点
则有，∴，∴
∴．即（）
∴．又∵∴解之得：
．
分析二：
的几何意义是过圆上一动点和定点的连线的斜率，利用此直线与圆有公共点，可确定出的取值范围．
解法二：
由得：
，此直线与圆有公共点，故点到直线的距离．
∴解得：
．
另外，直线与圆的公共点还可以这样来处理：
由消去后得：
，
此方程有实根，故，解之得：
．
说明：
这里将圆上的点用它的参数式表示出来，从而将求变量的范围问题转化成三角函数的有关知识来求解．或者是利用其几何意义转化成斜率来求解，使问题变得简捷方便．
3、已知点，点在圆上运动，求的最大值和最小值.
类型八：
轨迹问题
例21、基础训练：
已知点与两个定点，的距离的比为，求点的轨迹方程.
例22、已知线段的端点的坐标是（4，3），端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.
例23如图所示，已知圆与轴的正方向交于点，点在直线上运动，过做圆的切线，切点为，求垂心的轨迹．
分析：
按常规求轨迹的方法，设，找的关系非常难．由于点随，点运动而运动，可考虑，，三点坐标之间的关系．
解：
设，，连结，，
则，，是切线，
所以，，，
所以四边形是菱形．
所以，得
又满足，
所以即是所求轨迹方程．
说明：
题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识．采取代入法求轨迹方程．做题时应注意分析图形的几何性质，求轨迹时应注意分析与动点相关联的点，如相关联点轨迹方程已知，可考虑代入法．
例24已知圆的方程为，圆内有定点，圆周上有两个动点、，使，求矩形的顶点的轨迹方程．
分析：
利用几何法求解，或利用转移法求解，或利用参数法求解．
解法一：
如图，在矩形中，连结，交于，显然，，
在直角三角形中，若设，则．
由，即，
也即，这便是的轨迹方程．
解法二：
设、、，则，．
又
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