集合的基本关系及运算.doc

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集合的基本关系及运算

编稿：

丁会敏审稿：

王静伟

【学习目标】

1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集．在具体情境中，了解空集和全集的含义．

2.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．

【要点梳理】

要点一、集合之间的关系

1.集合与集合之间的“包含”关系

集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；

子集：

如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset）.记作：

，当集合A不包含于集合B时，记作AB，用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：

要点诠释：

（1）“是的子集”的含义是：

的任何一个元素都是的元素，即由任意的，能推出．

（2）当不是的子集时，我们记作“（或）”，读作：

“不包含于”（或“不包含”）．

真子集：

若集合，存在元素xB且，则称集合A是集合B的真子集（propersubset）.记作：

AB（或BA）

规定：

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

2.集合与集合之间的“相等”关系

，则A与B中的元素是一样的，因此A=B

要点诠释：

任何一个集合是它本身的子集，记作．

要点二、集合的运算

1.并集

一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：

A∪B读作：

“A并B”，即：

A∪B={x|xA，或xB}

Venn图表示：

要点诠释：

（1）“xA，或xB”包含三种情况：

“”；“”；“”．

（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只出现一次）.

2.交集

一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：

A∩B，读作：

“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn图表示：

要点诠释：

（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是．

（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”．

（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合.

3.补集

全集：

一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.

补集：

对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集（complementaryset），简称为集合A的补集，记作：

补集的Venn图表示：

要点诠释：

（1）理解补集概念时，应注意补集是对给定的集合和相对而言的一个概念，一个确定的集合，对于不同的集合U，补集不同．

（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则为全集；而当问题扩展到实数集时，则为全集，这时就不是全集．

（3）表示U为全集时的补集，如果全集换成其他集合（如）时，则记号中“U”也必须换成相应的集合（即）．

4.集合基本运算的一些结论

若A∩B=A，则，反之也成立

若A∪B=B，则，反之也成立

若x（A∩B），则xA且xB

若x（A∪B），则xA，或xB

求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法.

【典型例题】

类型一、集合间的关系

例1.集合，集合，那么间的关系是（）.

A.B.C.=D.以上都不对

【答案】B

【解析】先用列举法表示集合、，再判断它们之间的关系.由题意可知，集合是非负偶数集，即.集合中的元素.而（为正奇数时）表示0或正偶数，但不是表示所有的正偶数，即.由依次得0,2,6,12，，即.

综上知，，应选. 

【总结升华】判断两个集合间的关系的关键在于：

弄清两个集合的元素的构成，也就是弄清楚集合是由哪些元素组成的.这就需要把较为抽象的集合具体化（如用列举法来表示集合）、形象化（用Venn图，或数形集合表示）.

举一反三：

【变式1】若集合，则（）.

A.B.C.=D.

【答案】C

例2.写出集合{a，b，c}的所有不同的子集.

【解析】不含任何元素子集为，只含1个元素的子集为{a}，{b}，{c}，含有2个元素的子集有{a，b}，{a，c}，{b，c}，含有3个元素的子集为{a，b，c}，即含有3个元素的集合共有23=8个不同的子集.如果集合增加第4个元素d，则以上8个子集仍是新集合的子集，再将第4个元素d放入这8个子集中，会得到新的8个子集，即含有4个元素的集合共有24=16个不同子集，由此可推测，含有n个元素的集合共有2n个不同的子集.

【总结升华】要写出一个集合的所有子集，我们可以按子集的元素个数的多少来分别写出.当元素个数相同时，应依次将每个元素考虑完后，再写剩下的子集.如本例中要写出2个元素的子集时，先从a起，a与每个元素搭配有{a，b}，{a，c}，然后不看a，再看b可与哪些元素搭配即可.同时还要注意两个特殊的子集：

和它本身.

举一反三：

【变式1】已知，则这样的集合有个.

【答案】7个

【变式2】同时满足：

①；②，则的非空集合有（）

A.16个B.15个C.7个D.6个

【答案】C

【解析】时，；时，；时，；时，；时，；非空集合可能是：

，共7个.故选C.

例3．集合A={x|y=x2+1}，B={y|y=x2+1}，C={（x,y）|y=x2+1}，D={y=x2+1}是否表示同一集合？

【答案】以上四个集合都不相同

【解析】集合A={x|y=x2+1}的代表元素为x，故集合A表示的是函数y=x2+1中自变量x的取值范围，即函数的定义域A=；

集合B={y|y=x2+1}的代表元素为y，故集合B表示的是函数y=x2+1中函数值y的取值范围，即函数的值域B=；

集合C={（x,y）|y=x2+1}的代表元素为点（x，y），故集合C表示的是抛物线y=x2+1上的所有点组成的集合；

集合D={y=x2+1}是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素：

方程y=x2+1．

【总结升华】认清集合的属性，是突破此类题的关键.首先应当弄清楚集合的表示方法，是列举法还是描述法；其次对于用描述法表示的集合一定要认准代表元素，准确理解对代表元素的限制条件．

举一反三：

【变式1】设集合，，则（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】排除法：

集合M、N都是点集，因此只能是点集，而选项A表示二元数集合，选项B表示二元等式集合，选项C表示区间（无穷数集合）或单独的一个点的坐标（不是集合），因此可以判断选D．

【变式2】设集合，，则与的关系是（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】集合M表示函数的定义域，有；

集合N表示函数的值域，有，故选A.

【高清课堂：

集合的概念、表示及关系377430例2】

【变式3】设M={x|x=a2+1，aN+}，N={x|x=b2-4b+5，bN+}，则M与N满足（）

A.M=NB.MNC.NMD.M∩N=

【答案】B

【解析】当aN+时，元素x=a2+1，表示正整数的平方加1对应的整数，而当bN+时，元素x=b2-4b+5=（b-2）2+1，其中b-2可以是0，所以集合N中元素是自然数的平方加1对应的整数，即M中元素都在N中，但N中至少有一个元素x=1不在M中，即MN，故选B.

【高清课堂：

集合的概念、表示及关系377430例3】

例4．已知若M=N，则=．

A．－200B．200C．－100D．0

【思路点拨】解答本题应从集合元素的三大特征入手，本题应侧重考虑集合中元素的互异性．

【答案】D

【解析】由M=N，知M，N所含元素相同.由O{0，|x|，y}可知

若x=0，则xy=0，即x与xy是相同元素，破坏了M中元素互异性，所以x≠0.

若x·y=0，则x=0或y=0，其中x=0以上讨论不成立，所以y=0，即N中元素0，y是相同元素，破坏了N中元素的互异性，故xy≠0

若，则x=y，M，N可写为

M={x，x2，0}，N={0，|x|，x}

由M=N可知必有x2=|x|，即|x|2=|x|

∴|x|=0或|x|=1

若|x|=0即x=0，以上讨论知不成立

若|x|=1即x=±1

当x=1时，M中元素|x|与x相同，破坏了M中元素互异性，故x≠1

当x=-1时，M={-1，1，0}，N={0，1，-1}符合题意，综上可知，x=y=-1

=-2+2-2+2+…+2=0

【总结升华】解答本题易忽视集合的元素具有的“互异性”这一特征，而找不到题目的突破口．因此，集合元素的特征是分析解决某些集合问题的切入点．

举一反三：

【变式1】设a，bR，集合，则b-a=（）

【答案】2

【解析】由元素的三要素及两集合相等的特征：

∴当b=1时，a=-1，

当时，∴b=a且a+b=0，∴a=b=0（舍）

∴综上：

a=-1，b=1，∴b-a=2.

类型二、集合的运算

例5.设集合，，，求.

【答案】,

【解析】先将集合、、、转化为文字语言叙述，以便弄清楚它们的构成，再求其交集即可.

集合表示3的倍数所组成的集合；

集合表示除以3余1的整数所组成的集合；

集合表示除以3余2的整数所组成的集合；

集合表示除以6余1的整数所组成的集合；

.

【总结升华】求两个集合的交集或并集，关键在于弄清两个集合由哪些元素所构成的，因而有时需要对集合进行转化，或具体化、形象化.如本例中转化为用自然语言来描述这些集合，有利于弄清集合的元素的构成.类似地，若一个集合元素的特征由不等式给出时，利用数轴就能使问题直观形象起来.

举一反三：

【变式1】已知集合M={y|y=x2-4x+3，xR}，N={y|y=-x2-2x+8，xR}，则M∩N等于（）

A.B.RC.{-1，9}D.[-1，9]

【答案】D

【解析】集合M、N均表示构成相关函数的因变量取值范围，故可知：

M={y|y≥-1}，N={y|y≤9}，所以M∩N={y|-1≤y≤9}，选D.

例6.设集合M={3，a}，N={x|x2-2x<0，xZ}，M∩N={1}，则M∪N为（）

A.{1，3，a}B.{1，2，3，a}C.{1，2，3}　D.{1，3}

【思路点拨】先把集合N化简，然后再利用集合中元素的互异性解题．

【答案】D

【解析】由N={x|x2-2x<0，xZ}可得：

N={x|0

举一反三：

【变式1】

（1）已知：

M={x|x≥2}，P={x|x2-x-2=0}，求M∪P和M∩P；

（2）已知：

A={y|y=3x2}，B={y|y=-x2+4}，求：

A∩B，A∪B；

（3）已知集合A={-3，a2，1+a}，B={a-3，a2+1，2a-1}，其中aR，若A∩B={-3}，求A∪B