邯郸市2018届高三一模理科数学试题.doc

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高三数学考试（理科）

第Ⅰ卷

一、选择题

1．已知复数z＝－1＋i，则

A．－1

B．1

C．－i

D．i

2．设全集，集合A＝{x|1＜4－x2≤2}，则

A．

B．

C．

D．

3．某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8，0.7，0.6，只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立，一选手参加该节目，则该选手只闯过前两天的概率为

A．0.56

B．0.336

C．0.32

D．0.224

4．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知absinC＝20sinB，a2＋c2＝41，且8cosB＝1，则b＝

A．6

B．

C．

D．7

5．如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为

A．4

B．5

C．6

D．7

6．若函数在R上是增函数，则a的取值范围为

A．[2，3]

B．[2，＋∞）

C．[1，3]

D．[1，＋∞）

7．记不等式组表示的平面区域为Ω，点P的坐标为（x，y）．有下面四个命题：

p1：

，x－y的最小值为6：

p2：

，；

p3：

，x－y的最大值为6：

p4：

，．

其中的真命题是

A．p1，p4

B．p1，p2

C．p2，p3

D．p3，p4

8．若的展开式中x3的系数为80，其中n为正整数，则的展开式中各项系数的绝对值之和为

A．32

B．81

C．243

D．256

9．我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于买田的问题：

“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？

”其意思为：

“今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱．今合买好、坏田1顷，价值10000钱．问好、坏田各有多少亩？

”已知1顷为100亩，现有下列四个程序框图，其中S的单位为钱，则输出的x，y分别为此题中好、坏田的亩数的是

A．

B．

C．

D．

11．若仅存在一个实数，使得曲线C：

关于直线x＝t对称，则ω的取值范围是

A．

B．

C．

D．

11．设正三棱锥P—ABC的高为H，且此棱锥的内切球的半径为R，若二面角P－AB－C的正切值为，则

A．5

B．6

C．7

D．8

12．设双曲线Ω：

（a＞0，b＞0）的左顶点与右焦点分别为A，F，以线段AF为底边作一个等腰△AFB，且AF边上的高h＝|AF|．若△AFB的垂心恰好在Ω的一条渐近线上，且Ω的离心率为e，则下列判断正确的是

A．存在唯一的e，有

B．存在两个不同的e，且一个在区间（1，）内，另一个在区间（，2）内

C．存在唯一的e，且

D．存在两个不同的e，且一个在区间（1，）内，另一个在区间内

第Ⅱ卷

二、填空题

13．在平行四边形ABCD中，若，则λ＋μ＝________．

14．若圆C：

的圆心为椭圆M：

x2＋my2＝1的一个焦点，且圆C经过M的另一个焦点，则圆C的标准方程为________．

15．若，α，β∈（0，），则．

16．已知集合M＝{x|}，A＝{x∈M|x3－3x2＋1－a＝0}，B＝{x∈M|x－2－a＝0}，若集合A∪B的子集的个数为8，则a的取值范围为________．

三、解答题

17．已知数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，bn－an＝2n＋1，且Sn＋Tn＝2n＋1＋n2－2．

（1）求Tn－Sn；

（2）求数列的前n项和Rn．

18．某大型超市在2018年元旦举办了一次抽奖活动，抽奖箱里放有3个红球，3个黄球和1个蓝球（这些小球除颜色外大小形状完全相同），从中随机一次性取3个小球，每位顾客每次抽完奖后将球放回抽奖箱．活动另附说明如下：

①凡购物满100（含100）元者，凭购物打印凭条可获得一次抽奖机会；

②凡购物满188（含188）元者，凭购物打印凭条可获得两次抽奖机会；

③若取得的3个小球只有1种颜色，则该顾客中得一等奖，奖金是一个10元的红包；

④若取得的3个小球有3种颜色，则该顾客中得二等奖，奖金是一个5元的红包；

⑤若取得的3个小球只有2个红球，则该顾客中得三等奖，奖金是一个2元的红包．

抽奖活动的组织者记录了该超市前20位顾客的昀物消费数据（单位：

元），绘制得到如图所示的茎叶图．

（1）求这20位顾客中获得抽奖机会的顾客的购物消费数据的中位数和平均数（结果精确到整数部分）；

（2）记一次抽奖获得的红包奖金数（单位：

元）为X，求X的分布列及数学期望，并计算这20位顾客（假定每位获得抽奖机会的顾客都会抽奖）在抽奖中获得红包的总奖金的平均值．

19．如图，在各棱长均为2的正三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为棱A1B1与BB1的中点，M，N为线段C1D上的动点，其中，M更靠近D，且MN＝C1N．

（1）证明：

A1E⊥平面AC1D；

（2）若NE与平面BCC1B1所成角的正弦值为，求异面直线BM与NE所成角的余弦值．

20．已知p＞0，抛物线C1：

x2＝2py与抛物线C2：

y2＝2px异于原点O的交点为M，且抛物线C1在点M处的切线与x轴交于点A，抛物线C2在点M处的切线与x轴交于点B，与y轴交于点C．

（1）若直线y＝x＋1与抛物线C1交于点P，Q，且，求；

（2）证明：

△BOC的面积与四边形AOCM的面积之比为定值．

21．已知函数f（x）＝3ex＋x2，g（x）＝9x－1．

（1）求f（x）与g（x）的大小，并加以证明；

（2）当0＜x≤a时，xex＋4x＋5－f（x）＞a，且（m－3）em－m2＋3m＋5＝0（0＜m＜2），证明：

0＜a＜m．

22．[选修4－4：

坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（t为参数，且t＞0），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ．

（1）将曲线M的参数方程化为普通方程，并将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）求曲线M与曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．

23．[选修4－5；不等式选讲]

已知函数f（x）＝|x－4|＋|x－1|－3．

（1）求不等式f（x）≤2的解集；

（2）若直线y＝kx－2与函数f（x）的图象有公共点，求k的取值范围．

高三数学详细参考答案（理科）

1．A

2．B

3．D

4．A

5．C

6．A

7．C

8．C

9．B

10．D

11．C

12．A

13．2

14．x2＋（y＋1）2＝4

15．2

16．

17．解：

（1）依题意可得b1－a1＝3，b2－a2＝5，…，bn－an＝2n＋1，

∴Tn－Sn＝（b1＋b2＋…＋bn）－（a1＋a2＋…＋an）＝n＋（2＋22＋…＋2n）＝2n＋1＋n－2．

（2）∵2Sn＝Sn＋Tn－（Tn－Sn）＝n2－n，∴，

∴an＝n－1．

又bn－an＝2n＋1，∴bn＝2n＋n，

∴，

∴，则，

∴，

故．

18．解：

（1）获得抽奖机会的数据的中位数为110，

平均数为

（2）X的可能取值为2，5，10，

，

，

则X的分布列为

X

2

5

10

P

故．

这20位顾客中，有8位顾客获得一次抽奖的机会，有3位顾客获得两次抽奖的机会，故共有14次抽奖机会．

所以这20位顾客在抽奖中获得红包的总奖金数的平均值为元．

19．

（1）证明：

由已知得△A1B1C1为正三角形，D为棱A1B1的中点，

∴C1D⊥A1B1，

在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1，则AA1⊥C1D．

又A1B1∩AA1＝A1，∴C1D⊥平面ABB1A1，∴C1D⊥A1E．

易证A1E⊥AD，且AD∩C1D＝D，∴A1E⊥平面AC1D．

（2）解：

取BC的中点O，B1C1的中点O1，则AO⊥BC，OO1⊥BC，

以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系O－xyz，

则B（0，1，0），E（0，1，1），C1（0，－1，2），D（，，2），

设，

则，

易知n＝（1，0，0）是平面BCC1B1的一个法向量，

∴，解得．

∴，，，

∴，

∴异面直线NE与BM所成角的余弦值为．

20．

（1）解：

由，消去y得x2－2px－2p＝0．

设P，Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），

则x1＋x2＝2p，x1x2＝－2p．

∴，∵p＞0，∴p＝1．

∴．

（2）证明：

由，得x＝y＝2p或x＝y＝0，则M（2p，2p）．

设直线AM：

y－2p＝k1（x－2p），与x2＝2py联立得x2－2pk1x－4p2（1－k1）＝0．

由，得（k1－2）2＝0，∴k1＝2．

设直线BM：

y－2p＝k2（x－2p），与y2＝2px联立得k2y2－2py－4p2（1－k2）＝0．

由Δ2＝4p2＋16p2k2（1－k2）＝0，得（1－2k2）2＝0，∴．

故直线AM：

y－2p＝2（x－2p），直线BM：

从而不难求得A（p，0），B（－2p，0），C（0，p），

∴S△BOC＝p2，S△ABM＝3p2，∴△BOC的面积与四边形AOCM的面积之比为（为定值）

21．解：

（1）f（x）＞g（x），

证明如下：

设h（x）＝f（x）－g（x）＝3ex＋x2－9x＋1，∵h′（x）＝3ex＋2x－9为增函数，

∴可设h′（x0）＝0，∵h′（x）＝－6＜0，h′

（1）＝3e－7＞0，∴x0∈（0，1）．

当x＞x0时，h′（x）＞0；当x＜x0时，h′（x）＜0．

∴，

又，∴，

∴．

∵x0∈（0，1），∴（x0－1）（x0－10）＞0，

∴h（x）min＞0，f（x）＞g（x）．

（2）证明：

设φ（x）＝xex＋4x＋5－f（x）＝（x－3）ex－x2＋4x＋5（x＞0），

令φ′（x）＝（x－2）（ex－2）＝0，得x1＝ln2，x2＝2，

则φ（x）在（0，ln2]上单调递增，在（ln2，2）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增．

φ

（2）＝9－e2＜2，设φ（t）＝2（ln2＜t＜2），

∵（m－3）em－m2＋3m＋5＝0（0＜m＜2），

∴（m－3）em－m2＋4m＋5＝m（0＜m＜2），即φ（m）＝m（0＜m＜2）．

当0＜a＜t时，φ（x）＞φ（0）＝2＞a，则xex＋4x＋5－f（x）＞a．

当t≤a≤m时，φ（x）min＝φ（a），∴xex＋4x＋5－f（x）＞a，∴φ（a）＞a，∴t≤a＜m．

当m＜a＜2或a≥2时，不合题意．

从而0＜a＜m．

22．解：

（1）∵，∴，即

又t＞0，∴，∴x＞2或x＜0，

∴曲线M的普通方程为（x＞2或x＜0）

∵ρ＝4cosθ，ρ2＝4ρcosθ，∴x2＋y2＝4x，即曲线C的直角坐标方程为x2－4x＋y2＝0．

（2）由得x2－4x＋3＝0，

∴x1＝1（舍去），x2＝3，

则交点的直角坐标为（3，），极坐标为．

23．解：

（1）由f（x）≤2，得或或

解得0≤x≤5，故不等式f（x）≤2的解集为[0，5]．

（2）

作出函数f（x）的图象，如图所示，

直线y＝kx－2过定点C（0，2），

当此直线经过点B（4，0）时，

当此直线与直线AD平行时，k＝－2．

故由图可知，k∈（－∞，－2）∪[，＋∞）．