辽宁省沈阳市2018届高三教学质量监测(一)数学理试题+Word版含答案.doc
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2018年沈阳市高中三年级教学质量监测
（一）
数学（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若是虚数单位，则复数的实部与虚部之积为（）
A．B．C．D．
2.设集合，，则（）
A．B．
C．D．
3.命题“若，则”的逆否命题是（）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
4.已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的实数的值为（）
A．-3B．-3或9C.3或-9D．-9或-3
5.刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率，理论上能把的值计算到任意的精度.割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积.若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（）
A．B．C.D．
6.如图所示，网络纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某简单几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A．B．C.D．
7.设满足约束条件，则的最大值是（）
A．-15B．-9C.1D．9
8.若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有一个人站在自己原来的位置，则共有（）种不同的站法.
A．4B．8C.12D．24
9.函数在的单调递增区间是（）
A．B．C.D．
10.已知双曲线的一条渐近线与圆相切，则该双曲线的离心率为（）
A．2B．C.D．
11.在各项都为正数的等比数列中，若，且，则数列的前项和是（）
A．B．C.D．
12.设函数是定义在上的偶函数，且，当时，，若在区间内关于的方程（且）有且只有4个不同的根，则实数的取值范围是（）
A．B．C.D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上.
13.已知随机变量，若，则．
14.在推导等差数列前项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可求得．
15.已知正三角形（为坐标原点）的顶点在抛物线上，则的边长是．
16.已知是直角边为2的等腰直角三角形，且为直角顶点，为平面内一点，则的最小值是．
三、解答题：
共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：
共60分.
17.在中，已知内角对边分别是，且.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，的面积为，求.
18.如图所示，在四棱锥中，平面平面，底面是正方形，且，.
（Ⅰ）证明：
平面平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
19.高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里？
”这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了55人，从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题.中国高中生答题情况是：
选择家的占、朋友聚集的地方占、个人空间占.美国高中生答题情况是：
家占、朋友聚集的地方占、个人空间占.为了考察高中生的“恋家（在家里感到最幸福）”是否与国别有关，构建了如下列联表.
在家里最幸福
在其它场所幸福
合计
中国高中生
美国高中生
合计
（Ⅰ）请将列联表补充完整；试判断能否有的把握认为“恋家”与否与国别有关；
（Ⅱ）从中国高中生的学生中以“是否恋家”为标准采用分层抽样的方法，随机抽取了5人，再从这5人中随机抽取2人.若所选2名学生中的“恋家”人数为，求随机变量的分布列及期望.
附：
，其中.
0.050
0.025
0.010
0.001
3.841
5.024
6.635
10.828
20.设为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足.（Ⅰ）求点的轨迹方程；
（Ⅱ）过的直线与点的轨迹交于两点，过作与垂直的直线与点的轨迹交于两点，求证：
为定值.
21.已知，.
（Ⅰ）求函数图象恒过的定点坐标；
（Ⅱ）若恒成立，求的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）成立的条件下，证明：
存在唯一的极小值点，且.
（二）选考题：
共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：
极坐标与参数方程
设过原点的直线与圆的一个交点为，点为线段的中点，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求点的轨迹的极坐标方程；
（Ⅱ）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值.
23.选修4-5：
不等式选讲
已知，，函数.
（Ⅰ）当，时，解关于的不等式；
（Ⅱ）若函数的最大值为2，求证：
.
试卷答案
一、选择题
1-5:
BCDBB6-10:
ACBCB11、12：
AD
二、填空题
13.0.814.44.515.16.-1
三、解答题
17.解：
（Ⅰ）由正弦定理得
又
∴
∴
∴
∴
又∴
（Ⅱ）由面积公式可得
∴
∴
法2：
可解出或代入，∴.
18.（Ⅰ）证明：
∵底面为正方形，∴.
又∵平面平面，∴平面.
又∵平面，∴.
∵，，∴平面.
∵平面，∴平面平面.
（Ⅱ）取的中点为，的中点为，连接
易得底面，
以为原点，以的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，不妨设正方形的边长为2，可得，，，
设平面的一个法向量为
而，
即
取得
设平面的一个法向量为
而，
则即取得
由图知所求二面角为钝角
故二面角的余弦值为.
法2：
若以为原点，建立空间直角坐标，如图，
不妨设正方形的边长为2
可得面的法向量
面的法向量
由图可得为钝角
∴余弦值为.
19.（Ⅰ）
在家
其他
合计
中国
22
33
55
美国
9
36
45
合计
31
69
100
∴
∴有的把握认为“恋家”与否与国别有关.
（Ⅱ）依题意得，5个人中2人来自于“在家中”是幸福，3人来自于“在其他场所”是幸福，的可能取值为0，1，2
，，
∴的分布列为
0
1
3
∴.
20.解：
（Ⅰ）设，易知，，
又因为，所以，
又因为在椭圆上，所以，即.
（Ⅱ）当与轴重合时，，，
∴.
当与轴垂直时，，，
∴.
当与轴不垂直也不重合时，可设的方程为
此时设，，，
把直线与曲线联立，
得，
可得
∴，
把直线与曲线联立，
同理可得.
∴.
21.（Ⅰ）因为要使参数对函数值不发生影响，所以必须保证，
此时，所以函数的图象恒过点.
（Ⅱ）依题意得：
恒成立，∴恒成立.
构造函数，
则恒过，，
①若时，，∴在上递增，
∴不能恒成立.
②若时，，∴.
∵时，，函数单调递减；
时，，函数单调递增，
∴在时为极小值点，，
∴要使恒成立，只需.
设，则函数恒过，
，
，，函数单调递增；
，，函数单调递减，
∴在取得极大值0，
∴要使函数成立，只有在时成立.
（Ⅲ），设
，令，
∴在单调递减，在单调递增，
在处取得极小值
可得一定有2个零点，分别为的一个极大值点和一个极小值点
设为函数的极小值点，则，∴，，
因为，因为，
所以在区间上存在一个极值点，所以最小极值点在内.
∵函数的极小值点的横坐标，
∴函数的极小值，∴
22.（Ⅰ）设，则
又点的轨迹的极坐标方程为
∴，，，.
（Ⅱ）直线的直角坐标方程为
点到直线的距离为
.
23.解：
（Ⅰ）当时，.
不等式为.
①当时，因为不等式为，所以不等式成立，
此时符合；符合要求的不等式的解集为；
②当时，因为不等式为，所以，
此时，符合不等式的解集为；
③当时，因为不等式为不成立，解集为空集；
综上所述，不等式的解集为.
（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得
，，
∴.
∴，
当且仅当时，等号成立.
另解：
（Ⅱ）因为，，所以，
所以函数
，
所以函数的图象是左右两条平行于轴的射线和中间连结成的线段，
所以函数的最大值等于，所以.
∵，
∴.
或者，
当且仅当，即时，“等号”成立.
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