辽宁省沈阳市2018届高三教学质量监测(一)数学理试题+Word版含答案.doc
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2018年沈阳市高中三年级教学质量监测
(一)
数学(理科)
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若是虚数单位,则复数的实部与虚部之积为()
A.B.C.D.
2.设集合,,则()
A.B.
C.D.
3.命题“若,则”的逆否命题是()
A.若,则B.若,则
C.若,则D.若,则
4.已知一个算法的程序框图如图所示,当输出的结果为0时,输入的实数的值为()
A.-3B.-3或9C.3或-9D.-9或-3
5.刘徽是一个伟大的数学家,他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产,他所提出的割圆术可以估算圆周率,理论上能把的值计算到任意的精度.割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积.若在圆内随机取一点,则此点取自该圆内接正六边形的概率是()
A.B.C.D.
6.如图所示,网络纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某简单几何体的三视图,则该几何体的体积为()
A.B.C.D.
7.设满足约束条件,则的最大值是()
A.-15B.-9C.1D.9
8.若4个人按原来站的位置重新站成一排,恰有一个人站在自己原来的位置,则共有()种不同的站法.
A.4B.8C.12D.24
9.函数在的单调递增区间是()
A.B.C.D.
10.已知双曲线的一条渐近线与圆相切,则该双曲线的离心率为()
A.2B.C.D.
11.在各项都为正数的等比数列中,若,且,则数列的前项和是()
A.B.C.D.
12.设函数是定义在上的偶函数,且,当时,,若在区间内关于的方程(且)有且只有4个不同的根,则实数的取值范围是()
A.B.C.D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题纸上.
13.已知随机变量,若,则.
14.在推导等差数列前项和的过程中,我们使用了倒序相加的方法,类比可求得.
15.已知正三角形(为坐标原点)的顶点在抛物线上,则的边长是.
16.已知是直角边为2的等腰直角三角形,且为直角顶点,为平面内一点,则的最小值是.
三、解答题:
共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22/23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:
共60分.
17.在中,已知内角对边分别是,且.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)若,的面积为,求.
18.如图所示,在四棱锥中,平面平面,底面是正方形,且,.
(Ⅰ)证明:
平面平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
19.高中生在被问及“家,朋友聚集的地方,个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里?
”这个问题时,从中国某城市的高中生中,随机抽取了55人,从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题.中国高中生答题情况是:
选择家的占、朋友聚集的地方占、个人空间占.美国高中生答题情况是:
家占、朋友聚集的地方占、个人空间占.为了考察高中生的“恋家(在家里感到最幸福)”是否与国别有关,构建了如下列联表.
在家里最幸福
在其它场所幸福
合计
中国高中生
美国高中生
合计
(Ⅰ)请将列联表补充完整;试判断能否有的把握认为“恋家”与否与国别有关;
(Ⅱ)从中国高中生的学生中以“是否恋家”为标准采用分层抽样的方法,随机抽取了5人,再从这5人中随机抽取2人.若所选2名学生中的“恋家”人数为,求随机变量的分布列及期望.
附:
,其中.
0.050
0.025
0.010
0.001
3.841
5.024
6.635
10.828
20.设为坐标原点,动点在椭圆上,过作轴的垂线,垂足为,点满足.(Ⅰ)求点的轨迹方程;
(Ⅱ)过的直线与点的轨迹交于两点,过作与垂直的直线与点的轨迹交于两点,求证:
为定值.
21.已知,.
(Ⅰ)求函数图象恒过的定点坐标;
(Ⅱ)若恒成立,求的值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)成立的条件下,证明:
存在唯一的极小值点,且.
(二)选考题:
共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:
极坐标与参数方程
设过原点的直线与圆的一个交点为,点为线段的中点,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求点的轨迹的极坐标方程;
(Ⅱ)设点的极坐标为,点在曲线上,求面积的最大值.
23.选修4-5:
不等式选讲
已知,,函数.
(Ⅰ)当,时,解关于的不等式;
(Ⅱ)若函数的最大值为2,求证:
.
试卷答案
一、选择题
1-5:
BCDBB6-10:
ACBCB11、12:
AD
二、填空题
13.0.814.44.515.16.-1
三、解答题
17.解:
(Ⅰ)由正弦定理得
又
∴
∴
∴
∴
又∴
(Ⅱ)由面积公式可得
∴
∴
法2:
可解出或代入,∴.
18.(Ⅰ)证明:
∵底面为正方形,∴.
又∵平面平面,∴平面.
又∵平面,∴.
∵,,∴平面.
∵平面,∴平面平面.
(Ⅱ)取的中点为,的中点为,连接
易得底面,
以为原点,以的方向分别为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系,如图,不妨设正方形的边长为2,可得,,,
设平面的一个法向量为
而,
即
取得
设平面的一个法向量为
而,
则即取得
由图知所求二面角为钝角
故二面角的余弦值为.
法2:
若以为原点,建立空间直角坐标,如图,
不妨设正方形的边长为2
可得面的法向量
面的法向量
由图可得为钝角
∴余弦值为.
19.(Ⅰ)
在家
其他
合计
中国
22
33
55
美国
9
36
45
合计
31
69
100
∴
∴有的把握认为“恋家”与否与国别有关.
(Ⅱ)依题意得,5个人中2人来自于“在家中”是幸福,3人来自于“在其他场所”是幸福,的可能取值为0,1,2
,,
∴的分布列为
0
1
3
∴.
20.解:
(Ⅰ)设,易知,,
又因为,所以,
又因为在椭圆上,所以,即.
(Ⅱ)当与轴重合时,,,
∴.
当与轴垂直时,,,
∴.
当与轴不垂直也不重合时,可设的方程为
此时设,,,
把直线与曲线联立,
得,
可得
∴,
把直线与曲线联立,
同理可得.
∴.
21.(Ⅰ)因为要使参数对函数值不发生影响,所以必须保证,
此时,所以函数的图象恒过点.
(Ⅱ)依题意得:
恒成立,∴恒成立.
构造函数,
则恒过,,
①若时,,∴在上递增,
∴不能恒成立.
②若时,,∴.
∵时,,函数单调递减;
时,,函数单调递增,
∴在时为极小值点,,
∴要使恒成立,只需.
设,则函数恒过,
,
,,函数单调递增;
,,函数单调递减,
∴在取得极大值0,
∴要使函数成立,只有在时成立.
(Ⅲ),设
,令,
∴在单调递减,在单调递增,
在处取得极小值
可得一定有2个零点,分别为的一个极大值点和一个极小值点
设为函数的极小值点,则,∴,,
因为,因为,
所以在区间上存在一个极值点,所以最小极值点在内.
∵函数的极小值点的横坐标,
∴函数的极小值,∴
22.(Ⅰ)设,则
又点的轨迹的极坐标方程为
∴,,,.
(Ⅱ)直线的直角坐标方程为
点到直线的距离为
.
23.解:
(Ⅰ)当时,.
不等式为.
①当时,因为不等式为,所以不等式成立,
此时符合;符合要求的不等式的解集为;
②当时,因为不等式为,所以,
此时,符合不等式的解集为;
③当时,因为不等式为不成立,解集为空集;
综上所述,不等式的解集为.
(Ⅱ)由绝对值三角不等式可得
,,
∴.
∴,
当且仅当时,等号成立.
另解:
(Ⅱ)因为,,所以,
所以函数
,
所以函数的图象是左右两条平行于轴的射线和中间连结成的线段,
所以函数的最大值等于,所以.
∵,
∴.
或者,
当且仅当,即时,“等号”成立.