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辽宁省沈阳市2018届高三教学质量监测(一)数学理试题+Word版含答案.doc

1、2018年沈阳市高中三年级教学质量监测(一)数学(理科)第卷(共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若是虚数单位,则复数的实部与虚部之积为( )A B C D2.设集合,则( )A B C D3.命题“若,则”的逆否命题是( )A若,则 B若,则 C若,则 D若,则4.已知一个算法的程序框图如图所示,当输出的结果为0时,输入的实数的值为( )A-3 B-3或9 C.3或-9 D-9或-35.刘徽是一个伟大的数学家,他的杰作九章算术注和海岛算经是中国最宝贵的文化遗产,他所提出的割圆术可以估算圆周率,理论上能把的值计算

2、到任意的精度.割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积.若在圆内随机取一点,则此点取自该圆内接正六边形的概率是( )A B C. D6.如图所示,网络纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某简单几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A B C. D7.设满足约束条件,则的最大值是( )A-15 B-9 C.1 D98.若4个人按原来站的位置重新站成一排,恰有一个人站在自己原来的位置,则共有( )种不同的站法.A4 B8 C.12 D249.函数在的单调递增区间是( )A B C. D10.已知双曲线的一条渐近线与圆相切,则该双曲线的离心率为( )A2 B C. D11.在各项都为正数的等比数

3、列中,若,且,则数列的前项和是( )A B C. D12.设函数是定义在上的偶函数,且,当时,若在区间内关于的方程(且)有且只有4个不同的根,则实数的取值范围是( )A B C. D第卷(共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题纸上.13.已知随机变量,若,则 14.在推导等差数列前项和的过程中,我们使用了倒序相加的方法,类比可求得 15.已知正三角形(为坐标原点)的顶点在抛物线上,则的边长是 16.已知是直角边为2的等腰直角三角形,且为直角顶点,为平面内一点,则的最小值是 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题,每

4、个试题考生都必须作答.第22/23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.在中,已知内角对边分别是,且.()求;()若,的面积为,求.18.如图所示,在四棱锥中,平面平面,底面是正方形,且,.()证明:平面平面;()求二面角的余弦值.19.高中生在被问及“家,朋友聚集的地方,个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里?”这个问题时,从中国某城市的高中生中,随机抽取了55人,从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题.中国高中生答题情况是:选择家的占、朋友聚集的地方占、个人空间占.美国高中生答题情况是:家占、朋友聚集的地方占、个人空间占.为了考察高中生的“恋家(在家里感

5、到最幸福)”是否与国别有关,构建了如下列联表.在家里最幸福在其它场所幸福合计中国高中生美国高中生合计()请将列联表补充完整;试判断能否有的把握认为“恋家”与否与国别有关;()从中国高中生的学生中以“是否恋家”为标准采用分层抽样的方法,随机抽取了5人,再从这5人中随机抽取2人.若所选2名学生中的“恋家”人数为,求随机变量的分布列及期望.附:,其中.0.0500.0250.0100.0013.8415.0246.63510.82820.设为坐标原点,动点在椭圆上,过作轴的垂线,垂足为,点满足.()求点的轨迹方程;()过的直线与点的轨迹交于两点,过作与垂直的直线与点的轨迹交于两点,求证:为定值.21

6、.已知,.()求函数图象恒过的定点坐标;()若恒成立,求的值;()在()成立的条件下,证明:存在唯一的极小值点,且.(二)选考题:共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.选修4-4:极坐标与参数方程设过原点的直线与圆的一个交点为,点为线段的中点,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.()求点的轨迹的极坐标方程;()设点的极坐标为,点在曲线上,求面积的最大值.23.选修4-5:不等式选讲已知,函数.()当,时,解关于的不等式;()若函数的最大值为2,求证:.试卷答案一、选择题1-5:BCDBB 6-10:ACBCB 11、12:AD二、填空题1

7、3.0.8 14.44.5 15. 16.-1三、解答题17.解:()由正弦定理得又又()由面积公式可得法2:可解出或代入,.18.()证明:底面为正方形,.又平面平面,平面.又平面,.,平面.平面,平面平面.()取的中点为,的中点为,连接易得底面,以为原点,以的方向分别为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系,如图,不妨设正方形的边长为2,可得,设平面的一个法向量为而,即取得设平面的一个法向量为而,则即取得由图知所求二面角为钝角故二面角的余弦值为.法2:若以为原点,建立空间直角坐标,如图,不妨设正方形的边长为2可得面的法向量面的法向量由图可得为钝角余弦值为.19.()在家其他合计中国22335

8、5美国93645合计3169100有的把握认为“恋家”与否与国别有关.()依题意得,5个人中2人来自于“在家中”是幸福,3人来自于“在其他场所”是幸福,的可能取值为0,1,2,的分布列为013.20.解:()设,易知,又因为,所以,又因为在椭圆上,所以,即.()当与轴重合时,.当与轴垂直时,.当与轴不垂直也不重合时,可设的方程为此时设,把直线与曲线联立,得,可得,把直线与曲线联立,同理可得.21.()因为要使参数对函数值不发生影响,所以必须保证,此时,所以函数的图象恒过点.()依题意得:恒成立,恒成立.构造函数,则恒过,若时,在上递增,不能恒成立.若时,.时,函数单调递减;时,函数单调递增,在

9、时为极小值点,要使恒成立,只需.设,则函数恒过,函数单调递增;,函数单调递减,在取得极大值0,要使函数成立,只有在时成立.(),设,令,在单调递减,在单调递增,在处取得极小值可得一定有2个零点,分别为的一个极大值点和一个极小值点设为函数的极小值点,则,因为,因为,所以在区间上存在一个极值点,所以最小极值点在内.函数的极小值点的横坐标,函数的极小值,22.()设,则又点的轨迹的极坐标方程为,.()直线的直角坐标方程为点到直线的距离为.23.解:()当时,.不等式为.当时,因为不等式为,所以不等式成立,此时符合;符合要求的不等式的解集为;当时,因为不等式为,所以,此时,符合不等式的解集为;当时,因为不等式为不成立,解集为空集;综上所述,不等式的解集为.()由绝对值三角不等式可得,.,当且仅当时,等号成立.另解:()因为,所以,所以函数,所以函数的图象是左右两条平行于轴的射线和中间连结成的线段,所以函数的最大值等于,所以.,.或者,当且仅当,即时,“等号”成立.

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