解三角形大题专项训练.doc

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1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（Ⅰ）求cosA的值；

（Ⅱ）的值．

2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．

（1）求的值；

（2）若cosB=，△ABC的周长为5，求b的长．

3.△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB+bcos2A=a．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若C2=b2+a2，求B．

4.在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC

（1）求cosA的值

（2）若a=1，，求边c的值．

5.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c

（1）若，求A的值；

（2）若，求sinC的值．

6.△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=

（I）求△ABC的周长；

（II）求cos（A﹣C）的值．

7.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C=．

（I）求sinC的值；

（Ⅱ）当a=2，2sinA=sinC时，求b及c的长．

8.设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且3b2+3c2﹣3a2=4bc．

（Ⅰ）求sinA的值；

（Ⅱ）求的值．

9.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．

（Ⅰ）求A的大小；

（Ⅱ）求sinB+sinC的最大值．

10.在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且．

（1）确定角C的大小；

（2）若，且△ABC的面积为，求a+b的值．

11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，．

（Ⅰ）求sinC的值；

（Ⅱ）求△ABC的面积．

12.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A=60°，c=3b．求：

（Ⅰ）的值；

（Ⅱ）cotB+cotC的值．

13.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，求：

（Ⅰ）A的大小；

（Ⅱ）2sinBcosC﹣sin（B﹣C）的值．

14.在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知a2+c2=2b2．

（Ⅰ）若，且A为钝角，求内角A与C的大小；

（Ⅱ）求sinB的最大值．

15.在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c．已知．

（1）若△ABC的面积等于，求a，b；

（2）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．

16.设的内角所对的边长分别为，且，．

（Ⅰ）求边长；

（Ⅱ）若的面积，求的周长

17.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知，求：

（Ⅰ）A的大小;

（Ⅱ）的值.

18.在中,内角对边的边长分别是.已知.

⑴若的面积等于,求;

⑵若,求的面积.

答案与评分标准

一．选择题（共2小题）

1．（2009•福建）已知锐角△ABC的面积为，BC=4，CA=3，则角C的大小为（　　）

A．75° B．60° C．45° D．30°

考点：

解三角形。

专题：

计算题。

分析：

先利用三角形面积公式表示出三角形面积，根据面积为3和两边求得sinC的值，进而求得C．

解答：

解：

S=BC•AC•sinC=×4×3×sinC=3

∴sinC=

∵三角形为锐角三角形

∴C=60°

故选B

点评：

本题主要考查了解三角形的实际应用．利用三角形的两边和夹角求三角形面积的问题，是三角形问题中常用的思路．

2．（2004•贵州）△ABC中，a，b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a，b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b等于（　　）

A． B． C． D．

考点：

解三角形。

专题：

计算题。

分析：

先根据等差中项的性质可求得2b=a+c，两边平方求得a，b和c的关系式，利用三角形面积公式求得ac的值，进而把a，b和c的关系式代入余弦定理求得b的值．

解答：

解：

∵a，b、c成等差数列，∴2b=a+c，得a2+c2=4b2﹣2ac、

又∵△ABC的面积为，∠B=30°，

故由，

得ac=6．

∴a2+c2=4b2﹣12．

由余弦定理，得，

解得．

又b为边长，∴．

故选B

点评：

本题主要考查了余弦定理的运用．考查了学生分析问题和基本的运算能力．

二．填空题（共2小题）

3．（2011•福建）如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=，点D在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于　　．

考点：

解三角形。

专题：

计算题。

分析：

由A向BC作垂线，垂足为E，根据三角形为等腰三角形求得BE，进而再Rt△ABE中，利用BE和AB的长求得B，则AE可求得，然后在Rt△ADE中利用AE和∠ADC求得AD．

解答：

解：

由A向BC作垂线，垂足为E，

∵AB=AC

∴BE=BC=

∵AB=2

∴cosB==

∴B=30°

∴AE=BE•tan30°=1

∵∠ADC=45°

∴AD==

故答案为：

点评：

本题主要考查了解三角形问题．考查了学生分析问题和解决问题的能力．

4．（2011•福建）若△ABC的面积为，BC=2，C=60°，则边AB的长度等于　2　．

考点：

解三角形。

专题：

计算题。

分析：

根据三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，让其等于列出关于AC的方程，求出方程的解即可得到AC的值，然后根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，得到△ABC，即可得到三角形的三边相等，即可得到边AB的长度．

解答：

解：

根据三角形的面积公式得：

S=BC•ACsinC=×2ACsin60°=AC=，

解得AC=2，又BC=2，且C=60°，

所以△ABC为等边三角形，则边AB的长度等于2．

故答案为：

2

点评：

此题考查学生灵活运用三角形的面积公式化简求值，掌握等边三角形的判别方法，是一道基础题．

三．解答题（共26小题）

5．（2011•重庆）设函数f（x）=sinxcosx﹣cos（x+π）cosx，（x∈R）

（I）求f（x）的最小正周期；

（II）若函数y=f（x）的图象按=（，）平移后得到的函数y=g（x）的图象，求y=g（x）在（0，]上的最大值．

考点：

三角函数的周期性及其求法；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的最值。

专题：

计算题；综合题。

分析：

（I）先利用诱导公式，二倍角公式与和角公式将函数解析式化简整理，然后利用周期公式可求得函数的最小正周期．

（II）由（I）得函数y=f（x），利用函数图象的变换可得函数y=g（x）的解析式，通过探讨角的范围，即可的函数g（x）的最大值．

解答：

解：

（I）∵f（x）=sinxcosx﹣cos（x+π）cosx

=sinxcosx+cosxcosx

=sin2x+cos2x+

=sin（2x+）+

∴f（x）的最小正周期T==π

（II）∵函数y=f（x）的图象按=（，）平移后得到的函数y=g（x）的图象，

∴g（x）=sin（2x+﹣）++=sin（2x﹣）+

∵0＜x≤∴＜2x﹣≤，

∴y=g（x）在（0，]上的最大值为：

．

点评：

本题考查了三角函数的周期及其求法，函数图象的变换及三角函数的最值，各公式的熟练应用是解决问题的根本，体现了整体意识，是个中档题．

6．（2011•浙江）在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．已知sinA+sinC=psinB（p∈R）．且ac=b2．

（Ⅰ）当p=，b=1时，求a，c的值；

（Ⅱ）若角B为锐角，求p的取值范围．

考点：

解三角形。

专题：

计算题。

分析：

（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化成边，解方程组求得a和c的值．

（Ⅱ）先利用余弦定理求得a，b和c的关系，把题设等式代入表示出p2，进而利用cosB的范围确定p2的范围，进而确定pd范围．

解答：

（Ⅰ）解：

由题设并利用正弦定理得

故可知a，c为方程x2﹣x+=0的两根，

进而求得a=1，c=或a=，c=1

（Ⅱ）解：

由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB=p2b2﹣b2cosB﹣，

即p2=+cosB，

因为0＜cosB＜1，

所以p2∈（，2），由题设知p＞0，所以＜p＜

点评：

本题主要考查了解三角形问题．学生能对正弦定理和余弦定理的公式及变形公式熟练应用．

7．（2011•天津）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（Ⅰ）求cosA的值；

（Ⅱ）的值．

考点：

余弦定理；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的余弦函数；二倍角的余弦。

专题：

计算题。

分析：

（I）利用三角形中的等边对等角得到三角形三边的关系；利用三角形的余弦定理求出角A的余弦．

（II）利用三角函数的平方关系求出角A的正弦，利用二倍角公式求出角2A的正弦，余弦；利用两个角的和的余弦公式求出的值．

解答：

解：

（I）由B=C，可得

所以cosA==

（II）因为

所以

=

点评：

本题考查三角形的余弦定理、考查三角函数的平方关系、考查两角和的余弦公式．

8．（2011•陕西）叙述并证明余弦定理．

考点：

余弦定理。

专题：

证明题。

分析：

先利用数学语言准确叙述出余弦定理的内容，并画出图形，写出已知与求证，然后开始证明．

方法一：

采用向量法证明，由a的平方等于的平方，利用向量的三角形法则，由﹣表示出，然后利用平面向量的数量积的运算法则化简后，即可得到a2=b2+c2﹣2bccosA，同理可证b2=c2+a2﹣2cacosB，c2=a2+b2﹣2abcosC；

方法二：

采用坐标法证明，方法是以A为原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，表示出点C和点B的坐标，利用两点间的距离公式表示出|BC|的平方，化简后即可得到a2=b2+c2﹣2bccosA，同理可证b2=c2+a2﹣2cacosB，c2=a2+b2﹣2abcosC．

解答：

解：

余弦定理：

三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍；或在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有a2=b2+c2﹣2bccosA，b2=c2+a2﹣2cacosB，c2=a2+b2﹣2abcosC．

证法一：

如图，

==

==b2﹣2bccosA+c2

即a2=b2+c2﹣2bccosA

同理可证b2=c2+a2﹣2cacosB，c2=a2+b2﹣2abcosC；

证法二：

已知△ABC中A，B，C所对边分别为a，b，c，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，

则C（bcosA，bsinA），B（c，0），

∴a2=|BC|2=（bcosA﹣c）2+（bsinA）2=b2co