苏北四市2017一模数学试卷.doc
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苏北四市2016-2017学年度高三年级第二次调研测试
数学试题
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1、已知集合，则．
2、已知复数满足，其中为虚数单位，则的模为．
3、某次比赛甲得分的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则剩下个
分数的方差为．
4、根据如图所示的伪代码，则输出的值为．
5、从这六个数中一次随机地取个数，则所取个数的和能被整除的概率
为．
6、若抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，则实数的值为
．
7、已知圆锥的底面直径与高都是，则该圆锥的侧面积为．
8、若函数的最小正周期为，则的值为．
9、已知等比数列的前项和为，若，则公比的值为
．
10、已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则不等式
的解集为．
11、若实数满足，则的最小值为．
12、已知非零向量满足，则与夹角的余弦值为．
13、已知是圆上的动点，，是圆
上的动点，则的取值范围为．
14、已知函数，若函数的图象与直线有三
个不同的公共点，则实数的取值集合为．
二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明
或演算步骤）
15、在中，角的对边分别为．已知．
（1）求角的值；
（2）若，求的值．
16、如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为矩形，
，点分别是的中点．
求证：
（1）直线∥平面；
（2）直线平面．
17、如图，已知两镇分别位于东西湖岸的处和湖中小岛的处，点在的
正西方向处，．现计划铺设一条电缆联通两镇，有
两种铺设方案：
①沿线段在水下铺设；②在湖岸上选一点，先沿线段在地
下铺设，再沿线段在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为万元∕、
万元∕．
（1）求两镇间的距离；
（2）应该如何铺设，使总铺设费用最低？
18、如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为
，且右焦点到左准线的距离为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设为椭圆的左顶点，为椭圆上位于轴上方的点，直线交轴于点
，过点作的垂线，交轴于点．
（ⅰ）当直线的斜率为时，求的外接圆的方程；
（ⅱ）设直线交椭圆于另一点，求的面积的最大值．
19、已知函数．
（1）解关于的不等式；
（2）证明：
；
（3）是否存在常数，使得对任意的恒成立？
若存在，求
出的值；若不存在，请说明理由．
20、已知正项数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若对于，都有成立，求实数取值范围；
（3）当时，将数列中的部分项按原来的顺序构成数列，且，证明：
存在无数个满足条件的无穷等比数列．
徐州市2017届高三期末调研测试
数学试题参考答案与评分标准
一、填空题：
本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1．2．3．4．5．6．7．8．
9．10．11．12．13．14．
二、解答题：
本大题共6小题，共计90分．
15．
（1）由正弦定理可知，，………………2分
即，因为，所以，
所以，即，………………………………………………4分
又，所以．……………………………………………………6分
（2）因为，，所以，…………………8分
所以，，……………10分
所以
………………………………12分
．…………………………………………………14分A
B
C
D
E
M
N
（第16题）
F
16．
（1）取中点，连结，，
又是的中点，所以，
又是矩形边的中点，
所以，所以，
所以四边形是平行四边形，…4分
所以，
又平面，平面，
所以∥平面．………………………………………………………7分
（2）在矩形中，，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，………………………………………………………10分
又平面，所以，
又，，，平面，
所以平面．………………………………………………………14分
17．
（1）过作的垂线，垂足为．
B
（第17题）
N
P
C
A
M
北
南
东
西
D
在中，，
所以，
在中，，
所以．
则，即，
所以，，
由勾股定理得，（km）．
所以，两镇间的距离为km．……………………………………………4分
（2）方案①：
沿线段在水下铺设时，总铺设费用为（万元）．………6分
方案②：
设，则，其中，
在中，，，
所以．
则总铺设费用为．………8分
设，则，
令，得，列表如下：
极小值
所以的最小值为．
所以方案②的总铺设费用最小为（万元），此时．……12分
而，
所以应选择方案②进行铺设，点选在的正西方向km处，总铺设费用最低．…………………………………………………………………………14分
18．
（1）由题意，得解得则，
所以椭圆的标准方程为．………………………………………4分
（2）由题可设直线的方程为，，则，
所以直线的方程为，则．
（i）当直线的斜率为，即时，，，，
因为，所以圆心为，半径为，
所以的外接圆的方程为．……………………………8分
（ii）联立消去并整理得，，
解得或，所以，……………………10分
直线的方程为，同理可得，，
所以，关于原点对称，即过原点．
所以的面积，……14分
当且仅当，即时，取“”．
所以的面积的最大值为．…………………………………………16分
19．
（1）当时，，所以的解集为；
当时，，
若，则的解集为；
若，则的解集为．
综上所述，当时，的解集为；
当时，的解集为；
当时，的解集为．……………………4分
（2）设，则．
令，得，列表如下：
极小值
所以函数的最小值为，
所以，即．…………………………………8分
（3）假设存在常数，使得对任意的恒成立，
即对任意的恒成立．
而当时，，所以，
所以，则，
所以恒成立，
①当时，，所以式在上不恒成立；
②当时，则，即，
所以，则．……………………………………………………12分
令，则，令，得，
当时，，在上单调增；
当时，，在上单调减．
所以的最大值．所以恒成立．
所以存在，符合题意．………………………………………16分
20．
（1）当时，，故；
当时，，
所以，
即，
又，所以，………………………………………………3分
所以，，，
故…………………………………………5分
（2）当为奇数时，，
由得，恒成立，
令，则，
所以．……………………………………………………………8分
当为偶数时，，
由得，恒成立，
所以．
又，所以实数的取值范围是．……………………………10分
（3）当时，若为奇数，则，所以．
解法1：
令等比数列的公比，则．
设，因为，
所以，
，…………………………14分
因为为正整数，
所以数列是数列中包含的无穷等比数列，
因为公比有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，
故无穷等比数列有无数个．………………………………………………16分
解法2：
设，所以公比．
因为等比数列的各项为整数，所以为整数，
取，则，故，
由得，，
而当时，，
即，…………………………………………………14分
又因为，都是正整数，所以也都是正整数，
所以数列是数列中包含的无穷等比数列，
因为公比有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，
故无穷等比数列有无数个．………………………………………………16分
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