线段的定比分点公式的应用(精品绝对好).doc

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线段的定比分点公式的应用

一、难点知识剖析

（一）、在运用线段的定比分点坐标公式时，要注意（x1，y1）是起点的坐标，（x2，y2）是终点的坐标，（x，y）表示分点的坐标，在每个等式中涉及到四个不同的量，它们分别表示三个坐标和定比λ，只要知道其中任意三个量，便可求第四个量．

（二）、如何确定定比分点坐标公式中的λ

1、由坐标确定：

2、由确定：

先求（不能错误的表示为）再据与的方向决定λ的符号．

例：

设点P（，，点P是直线上任意一点，且满足，求点P的坐标.

（三）、特殊情况的分析

1、λ＝0时，分点P与起点P1重合

2、λ＝1时，分点P为线段P1P2的中点

3、λ不可能等于－1（若λ＝－1，则P1、P2重合，与P1P2为线段矛盾）　∴λ∈（－∞，－1）∪（－1，＋∞）

4、无论λ取何实数（当然λ≠－1）分点P不可能与终点P2重合

二、例题讲解

例1、已知点A分有向线段的比为2，求下列定比λ：

（1）A分的比；

（2）B分的比；（3）C分的比．

分析：

本题直接用公式计算不太方便，若画出图表就一目了然．

解答：

因为A分的比为2，所以A在BC之间，且|BA|＝2|AC|（如图所示）

例2、已知P分所成的比为λ，O为平面上任意一点，．

求证：

线段定比分点向量公式

证明：

∵P分所成比为λ，

例3、已知三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D点内分的比为，E在BC上，且使△BDE的面积是△ABC面积的一半，求向量的坐标．（提示：

三角形面积等于两边与其夹角正弦乘积的一半）

分析：

要求的坐标，就要求D点的坐标，也要求E点的坐标．由于E点在线段BC上，且已知B、C两点的坐标，因此我们只要能确定E分有向线段的比，应用定比分点公式就能求出E点的坐标，将E点坐标减去D点的坐标就可得到向量．

解答：

　　如图所示，

　　∵D点内分的比为，

　　　　设E分有向线段的比为λ，

　　　　由题设条件可知：

例5．已知、不共线，，，将符合下列条件的向量写成的形式：

（1）点分所成的比，求；

（2）点分所成的比，求.

分析：

借助定比分点的概念解题。

解：

（1）由，得，

即.

故，

即.

（2）由上可知

即.

小结：

本题从表面上看不涉及分点的坐标问题，但利用定比分点的概念，导出了这个与定比有关的等式，这实际上是定比分点坐标公式的另一种表现形式，即向量形式.值得注意的是，这个等式在解决与向量有关的一些数学问题时很有用处。

例6、如图所示，已知直线过点和点，与轴，轴交于点和点．求：

点分所成的比，点的坐标．

分析：

设点，则可由可求得的值．同样方法可求点分所成的比再用定比分点坐标公式，求得．

解：

设点

，，

点分所成的比

设点分所成的比为，同理可得

点坐标是

小结：

记住定比分点坐标公式，要注意起点坐标在前不乘以．本题也可以这样求点分所成的比，设，根据定比分点坐标分式得

解之

在求时也要注意讨论

如已知点在直线上，且，求点分所成的比．

（1）当点在、之间时，；

（2）当点在延长线上时，.

例7、如图所示，已知矩形中，，，，点是边的中点，连结与矩形的对角线交于点，求点坐标．

分析：

点在上，若知道点分所成的比，则可根据定比分点坐标公式可求点坐标，由题意知∽且，由此知，即点分所成的比．

解：

四边形是矩形，是边的中点，∽，且

即点分所成的比

设．由，，根据定比分点坐标公式得

，

点坐标是

小结：

同理点分所成的比，由此可求得点坐标是，再由中点坐标公式可求得点坐标是．在直角坐标系中，求点的坐标，定比分点坐标公式是重要的思想和和工具．点和点坐标，也可根据和求得，当然点坐标也可根据求得，即，所以

解之，．

例8．若直线与连接、两点的线段有交点，求实数的取值范围．

分析：

当直线与线段有交点时，这个交点分有向线段所成的比不小于0，从而得到关于的不等式，但应注意考虑端点的情况．

解：

当直线过点时，有，∴.

当直线过点时，有，∴.

当直线与线段的交点在、之间时，设这个交点分的比为，它的坐标为，则

，.

而直线过点，则，

整理，得.

由，得，解得或.

故所求实数的取值范围为或。

小结：

（1）定比的符号是求解本题的关键．应当注意，当点在线段上时，；当点在线段或的延长线上时，.切不可将之混为一谈．

（2）恰当地利用定比的几何意义，可以解决某些看似与定比分点坐标公式无关的数学问题．

例9．已知的三顶点坐标分别为，，，直线，交于，且直线平分的面积，求点坐标．

分析：

本题是平面几何知识与定点分点公式的综合应用题，解题时，应先确定分的比，再利用公式求解．

解：

设直线交于，依题意，，又因为，故∽，所以，．即点分的比为．

设的坐标为，由定比分点公式有，．

∴点的坐标为．

小结：

求解定比分点坐标的关键是求出定比的值．求的值，除注意的符号外，还常常用到平面几何知识，如相似形的性质，比例线段等等．

例10．已知，，且，，求点、的坐标.

分析：

借助线段的定比分点式求解.

解：

设，.

由，可得，即，.

运用定比分点公式可知

仿上可求得，

综上可知，欲求、两点坐标为，.

小结：

对于本题欲求点的坐标时，也可以由，得到，从而由定比公点公有得，.同理，也可以由求得点坐标，这表明，我们在利用定点比分点公式时，既要注意使用公式的前提，同时也要注意灵活地使用公式。

例11、已知的三个顶点的坐标为，边的中点分别为，且的重心为G，求：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

分析解此题可首先利用中点坐标公式分别求得各边中点的坐标，再利用三角形重心G的坐标公式求得G的坐标，最后利用平面向量坐标表示及运算法则计算所求的向量．

解∵，且分别为的中点，G为的重心，

∴．

重心，即．

（1）

（2）

，

（3）

（4）

小结：

本题中的（3），（4）具有一般性，我们将在例5中作一般结论的推证，另外结论（3）与（4）本身有着必然的联系，因为G为的重心，AE是的中线，故三点共线，而且，即，同理．

故．

例12.已知，求证：

。

证明：

设是数轴上的三点，，则

是的内分点，

在-1与1之间，即。

例13.已知求证：

。

证明：

设是数轴上的三点，定比分点，则定比

的外分点，则。

对于函数y=f（x）,如果能够化为，就与的形式完全相同（只须把t（x）看成），用数轴上两点P1、P2分别表示m、n，不妨设m0时，mm。

例14.已知二次函数f（x）满足条件：

（1）f（-1）=0；

（2）对一切xR，都有成立，求f（x）的解析式。

本题如果应用函数、根的判别式、基本不等式等知识来解题的话,过程比较繁琐，有些学生因为综合能力差，听完讲解后仍然似懂非懂，但如果运用定比分点公式解题则非常简单：

解：

由,可设数轴上的点P1（x,0）、P（f（x）,0），,且，则f（x）=，因为f（－1）=0,所以,解得＝1，所以。

三、定比分点公式的类比推理

从定比分点公式的结构形式来看，它与平面几何中的平行于梯形、三角形底边的截线问题，立体几何中的平行于柱、锥、台底面的截面问题以及数列中的通项公式、前n项和与项数n的关系等问题，具有很明显的相似之处。

1．平面几何中的定比分点：

命题1：

设梯形ABCD的上、下底边长分别为l1、l2若平行于底边的截线EF把梯形的腰（高）分成上、下两部分之比为（-1），则EF的长l=（≥0）。

特别地，

（1）当l1=l2时，条件为一平行四边形，结论仍成立；

（2）当l1=0时，条件为一三角形，结论仍成立；

（3）当＝1时，即可得到梯形的中位线公式。

证明：

设BA的延长线与CD的延长线交于O，由三角形相似可得

由

（1）

（2）可得。

依照命题1的推导方法，不难证明出以下命题：

命题1’：

设梯形ABCD的上，下底边长分别为l1,l2，若平行于底边的截线EF把梯形的面积分成上下两部分之比为，则有（特别当l1=0梯形退化为一个三角形时，结论为=仍成立。

）

2、立体几何中的定比分点：

命题2：

设棱台的上、下底面积分别为S1、S2，平行于底面的截面的面积为S0，此截面到上底面距离与它到下底面距离的比为，则有：

。

特别地，当＝1时，。

证明：

将棱台补成棱锥，设所补的小棱锥的高为x，截面到上、下底面的距离分别为h和h，则由截面性质定理可得：

从而有：

…………

（1）

…………

（2）,由

（1）

（2）得

即：

．

依照公式2的推导方法，不难证明出以下两公式：

命题2’:

设棱台的上、下底面积分别为S1、S2，平行于底面的截面的面积为S0，若此截面将棱台的侧面分成的上、下两部分的面积之比为，则有

命题2”:

设棱台的上、下底面积分别是S1、S2，平行于底面的面积为S0．若此截面将棱台分成的上、下两部分的体积比为，则有

注：

以上三个公式，对于圆台也同样成立．上述三个“定比分点”公式，形式整齐，结构对称，富有美感，便于记忆；而且在求解立体几何的有关问题时，有着广泛的应用。

3．数列中的定比分点：

命题3：

设是等差数列，其中ap、am、an，满足则。

证明：

ap=a1+（p-1）d，am=a1+（m-1）d，an=a1+（n-1）d

（其中a1、d分别是等差数列的首项与公差）

将ap、am、an代入中可得

命题3’:

设是等差数列，Ｓn是数列的前n项和，其中Ｓp、Ｓm、Ｓn

满足（），则。

证明：

因为=

那么S=An2+Bn，即，所以数列是等差数列，

由命题3，即有。

高二Ａ数学讲义第十四讲（130802）课后作业

（本试卷共14题，时间45分钟，满分100分）

班级：

　　　　　　　姓名：

一、选择填空题（每小题5分,共12个小题,共60分）

1、已知P点分有向线段所成的比为，则点B分有向线段所成的比为（）

A．　　　　　　　　　B．C．　　　　　　　　D．

2、设点P在有向线段的延长线上，P分所成的比为λ，则（）

A．λ＜－1　　　　　　　B．－1＜λ＜0C．0＜λ＜1　　　　　　D．λ＞1

3、连结点A（2，3）、B（7，－2）得线段AB，再延长到点C（x，y），使，则点C的坐标是（）

A．（－12，7）　　　　　　B．（－12，－7）C．（12，－7）　　　　　　D．（12，7）

4、已知点A（1，2）、B（4，5），点C（2，3）分线段AB成两部分，其中，则λ的值是（）

A．　　　　　　　　B．C．　　　　　　　　D．

5、如果△ABC的顶点坐标分别是A（4，6）、B（－2，1）、C（4，－1），则重心的坐标是（）

A．（2，1）　　　　　　　B．（2，2）C．（1，2）　　　　　　　D．（2，4）

6、若点A分的比和点C分的比恰好互为倒数，则点B分的比为（）

A．1