精华讲义数学人教版高二必修五不等式.doc
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不等式
（一）不等式与不等关系
1、应用不等式（组）表示不等关系；
不等式的主要性质：
（1）对称性：
（2）传递性：
（3）加法法则：
；（同向可加）
（4）乘法法则：
；
（同向同正可乘）
（5）倒数法则：
（6）乘方法则：
（7）开方法则：
2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：
作差法（作差——变形——判断符号——结论）
3、应用不等式性质证明不等式
（二）解不等式
1、一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解集：
设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：
二次函数
（）的图象
一元二次方程
有两相异实根
有两相等实根
无实根
R
2、分式不等式的解法：
分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。
解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。
3、不等式的恒成立问题：
常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题
若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上
若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上
（三）线性规划
1、用二元一次不等式（组）表示平面区域
二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）
2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点（），把它的坐标（）代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0），从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）
3、线性规划的有关概念：
①线性约束条件：
在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：
关于x、y的一次式z=ax+by是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．
由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．
4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：
（1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（3）依据线性目标函数作参照直线ax+by＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解
（四）基本不等式
1．若a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号.
2．如果a,b是正数，那么
变形：
有:
a+b≥；ab≤,当且仅当a=b时取等号.
3．如果a,b∈R+,a·b=P（定值）,当且仅当a=b时,a+b有最小值;
如果a,b∈R+,且a+b=S（定值）,当且仅当a=b时,ab有最大值.
注：
（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．
（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”
4.常用不等式有：
（1）（根据目标不等式左右的运算结构选用）；
平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）：
（2）a、b、cR，（当且仅当时，取等号）；（3）若，则（糖水的浓度问题）。
不等式主要题型讲解
（一）不等式与不等关系
题型一：
不等式的性质
1.对于实数中，给出下列命题：
①；②；
③；④；
⑤；⑥；
⑦；⑧，则。
其中正确的命题是________________________
题型二：
比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）
2.设，，，试比较的大小
3.比较1+与的大小
4.若，则的大小关系是.
（二）解不等式
题型三：
解不等式
5.解不等式
6.解不等式。
7.解不等式
8.不等式的解集为{x|-1＜x＜2}，则=_____,b=_______
9.关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为
10.解关于x的不等式
题型四：
恒成立问题
11.关于x的不等式ax2+ax+1＞0恒成立，则a的取值范围是_____________
12.若不等式对的所有实数都成立，求的取值范围.
13.已知且，求使不等式恒成立的实数的取值范围。
（三）基本不等式
题型五：
求最值
14.（直接用）求下列函数的值域
（1）y＝3x2＋
（2）y＝x＋
15.（配凑项与系数）
（1）已知，求函数的最大值。
（2）当时，求的最大值。
16.（耐克函数型）求的值域。
注意：
在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数的单调性。
17.（用耐克函数单调性）求函数的值域。
18.（条件不等式）
（1）若实数满足，则的最小值是.
（2）已知，且，求的最小值。
（3）已知x，y为正实数，且x2＋＝1，求x的最大值.
（4）已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝的最小值.
题型六：
利用基本不等式证明不等式
19.已知为两两不相等的实数，求证：
20.正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：
（1－a）（1－b）（1－c）≥8abc
21.已知a、b、c，且。
求证：
题型七：
均值定理实际应用问题：
22.某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m2的三级污水处理池（平面图如图），如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建筑单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。
（四）线性规划
题型八：
目标函数求最值
23.满足不等式组，求目标函数的最大值
24.已知实系数一元二次方程的两个实根为、,并且,．则的取值范围是
25.已知满足约束条件：
则的最小值是
26.已知变量（其中a>0）仅在点（3，0）处取得最大值，则a的取值范围为。
27.已知实数满足如果目标函数的最小值为，则实数等于（）
题型九：
实际问题
28.某饼店制作的豆沙月饼每个成本35元，售价50元；凤梨月饼每个成本20元，售价30元。
现在要将这两种月饼装成一盒，个数不超过10个，售价不超过350元，问豆沙月饼与凤梨月饼各放几个，可使利润最大？
又利润最大为多少？
复习――不等式的基本知识参考答案
高中数学必修内容练习---不等式
1.②③⑥⑦⑧；
2.；
3.当或时，1+＞；当时，1+＜；当时，1+＝
4.∵∴
（
∴R>Q>P。
5.
6.或；
7.）；
8.不等式的解集为{x|-1＜x＜2}，则=___-6____,b=__6_____
9.）.
10.解：
当a＝0时，不等式的解集为； 2分
当a≠0时，a（x－）（x－1）＜0；当a＜0时，原不等式等价于（x－）（x－1）＞0
不等式的解集为； 6分
当0＜a＜1时，1＜，不等式的解集为； 8分
当a＞1时，＜1，不等式的解集为； 10分
当a＝1时，不等式的解为φ． 12分
11._____0≤x＜4________
12.）
13.
14.解：
（1）y＝3x2＋≥2＝∴值域为[，+∞）
（2）当x＞0时，y＝x＋≥2＝2；
当x＜0时，y＝x＋=－（－x－）≤－2=－2
∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）
15.
（1）解，
当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。
（2）
当，即x＝2时取等号当x＝2时，的最大值为8。
16.解析一：
当,即时,（当且仅当x＝1时取“＝”号）。
解析二：
本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。
当,即t=时,（当t=2即x＝1时取“＝”号）。
17.解：
令，则
因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。
因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故。
所以，所求函数的值域为。
18.（条件不等式）
（1）解：
都是正数，≥
当时等号成立，由及得即当时，的最小值是6．
（2）解：
，
当且仅当时，上式等号成立，又，可得时，
（3）解：
x＝x＝x·
下面将x，分别看成两个因式：
x·≤＝＝即x＝·x≤
（4）解：
法一：
a＝，ab＝·b＝
由a＞0得，0＜b＜15
令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝－2（t＋）＋34∵t＋≥2＝8
∴ab≤18∴y≥当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。
法二：
由已知得：
30－ab＝a＋2b∵a＋2b≥2 ∴30－ab≥2
令u＝ 则u2＋2u－30≤0，－5≤u≤3
∴≤3，ab≤18，∴y≥
19.已知为两两不相等的实数，求证：
20.正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：
（1－a）（1－b）（1－c）≥8abc
21.已知a、b、c，且。
求证：
证明：
a、b、c，。
。
同理，。
上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得
。
当且仅当时取等号。
22.解：
若设污水池长为x米，则宽为（米）
水池外圈周壁长：
（米）
中间隔墙长：
（米）
池底面积：
200（米2）
目标函数：
≥
23.4
24.
25.1
26.。
27.5
28.解：
设一盒內放入x个豆沙月饼，y个凤梨月饼，利润为z元
则x，y必须满足，
目标函数为z＝15x＋10y
在可行区內的顶点附近z＝f（x，y）的最大值，
所以，一盒内装2个豆沙月饼8个凤梨月饼或4个豆沙月饼5个凤梨月饼，可得最大利润110元。
绝对值不等式的解法：
方法1：
利用绝对值性质：
一般的：
①②
特别地：
①
②
练习1：
不等
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