等差数列、等比数列的题型分析.doc

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等差等比数列的常见题型分析

考点透视：

高考对本讲知识的考查主要是以下两种形式：

1.以选择题、填空题的形式考查，主要利用等差、等比数列的通项公式、前n项和公式及其性质解决与项、和有关的计算问题，属于基础题；2.以解答题的形式考查，主要是等差、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式及其性质等知识交汇综合命题，考查用数列知识分析问题、解决问题的能力，属低、中档题．

题型一：

等差、等比数列的基本概念与运算

等差、等比数列是一个重要的数列类型，高考命题主要考查等差、等比数列的概念、基本量的运算及由概念推导出的一些重要性质，灵活运用这些性质解题，可达到避繁就简的目的．解决等差、等比数列的问题时，通常考虑两类方法：

①基本量法，即运用条件转化成关于a1和d的方程（组）；②巧妙运用等差、等比数列的性质．

例1：

（2011·江西）设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和．若S10＝S11，则a1＝（　　）．A．18B．20C．22D．24

解析　由S10＝S11，得a11＝S11－S10＝0，a1＝a11＋（1－11）d＝0＋（－10）×（－2）＝20.故选B.

题后反思：

本小题主要考查等差数列的通项、性质、前n项和以及数列的通项和前n项和的关系，解题的突破口是由S10＝S11得出a11＝0.

变式练习：

1.（2011·天津）已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为（　　）．

A．－110B．－90C．90D．110

解析　因为a7是a3与a9的等比中项，所以a＝a3a9，又因为公差为－2，

所以（a1－12）2＝（a1－4）（a1－16），解得a1＝20，通项公式为an＝20＋（n－1）（－2）＝22－2n.

所以S10＝＝5×（20＋2）＝110，故选D.

2.设数列{an}满足：

2an＝an＋1（an≠0）（n∈N*），且前n项和为Sn，则的值为（　　）

A.B.C．4D．2

解析：

由题意知，数列{an}是以2为公比的等比数列，故＝＝.答案：

A

3.已知两个等比数列，，满足，，，.

（1）若，求数列的通项公式；

（2）若数列唯一，求的值.

思路点拨：

（1）根据条件表示出，结合是等比数列，求出其公比，进而得通项公式.

（2）根据数列的唯一性，知q的一个值为0，得a的值.

[审题视点]

（1）利用b1、b2、b3等比求解；

（2）利用

（1）问的解题思路，结合方程的相关知识可求解．

解　

（1）设{an}的公比为q，则b1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2.

由b1，b2，b3成等比数列得（2＋q）2＝2（3＋q2），

即q2－4q＋2＝0，解得q1＝2＋，q2＝2－，

所以{an}的通项公式为an＝（2＋）n－1或an＝（2－）n－1.

（2）设{an}的公比为q，则由（2＋aq）2＝（1＋a）（3＋aq2），得aq2－4aq＋3a－1＝0.（*）

由a>0得，Δ＝4a2＋4a>0，故方程（*）有两个不同的实根，

由{an}唯一，知方程（*）必有一根为0，代入（*）得a＝.

方法锦囊：

关于等差（等比）数列的基本运算，一般通过其通项公式和前n项和公式构造关于a1和d（或q）的方程或方程组解决，如果在求解过程中能够灵活运用等差（等比）数列的性质，不仅可以快速获解，而且有助于加深对等差（等比）数列问题的认识．

4.设是公比为的等比数列，令，，若数列的连续四项在集合中，则等于（） A．B． C．或D．或

【知识点】递推公式的应用；等比数列的性质．

解：

{bn}有连续四项在{-53，-23，19，37，82}中且bn=an+1an=bn-1

则{an}有连续四项在{-54，-24，18，36，81}中

∵{an}是等比数列，等比数列中有负数项则q＜0，且负数项为相隔两项

∴等比数列各项的绝对值递增或递减，按绝对值的顺序排列上述数值18，-24，36，-54，81相邻两项相除则可得，

-24，36，-54，81是{an}中连续的四项，此时q=,同理可求q=

∴q=或q=.故选B

【思路点拨】根据bn=an+1可知an=bn-1，依据{bn}有连续四项在{-53，-23，19，37，82}中，则可推知则{an}有连续四项在{-54，-24，18，36，81}中，按绝对值的顺序排列上述数值，可求{an}中连续的四项，求得q.

5.在数1和2之间插入n个实数,使得这n+2个数构成递增的等比数列,将这n+2个数的乘积记为,令,N

（1）求数列的通项公式；

（2）记，数列的前项和，证明：

【知识点】等比数列，裂项求和，放缩法

解：

设该递增的等比数列公比为，由题意

而

所以7分

（2）

14分

【思路点拨】本题是一个求的典型例子，后面求的时候符合裂项求和的架构，最后放缩，很自然。

题型二：

等差、等比数列的基本性质的考查

考点总结：

从近几年的考题看，数列性质必考，以选择填空为主，中低档，难度较大时一般出现在解答题中，但是注意做题时要活。

例：

[2014·石家庄质检一]已知各项均为正数的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为2，则2a7＋a11的最小值为（　　）A．16B．8C．2D．4

解析：

由题意知a4＞0，a14＞0，a4·a14＝8，a7＞0，a11＞0，则2a7＋a11≥2＝2＝2＝8，当且仅当即a7＝2，a11＝4时取等号，故2a7＋a11的最小值为8，故选B.

变式练习：

1、等差数列{an}中，a5＋a6＝4，则log2（2a1·2a2·…·2a10）＝（　　）

A．10B．20C．40D．2＋log25

解析：

依题意得，a1＋a2＋a3＋…＋a10＝＝5（a5＋a6）＝20，因此有log2（2a1·2a2·…·2a10）＝a1＋a2＋a3＋…＋a10＝20.

2、已知方程（x2－mx＋2）（x2－nx＋2）＝0的四个根组成以为首项的等比数列，则＝（　　）

A.B.或C.D．以上都不对

解析：

设a，b，c，d是方程（x2－mx＋2）（x2－nx＋2）＝0的四个根，不妨设a

则a·b＝c·d＝2，a＝，故b＝4，根据等比数列的性质，得到c＝1，d＝2，则m＝a＋b＝，n＝c＋d＝3，或m＝c＋d＝3，n＝a＋b＝，则＝或＝.答案：

B

3、已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝3，S12－S8＝12，则S8＝__________.

解析：

由S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，得（S8－S4）2＝S4（S12－S8），解得S8＝9或S8＝－3，又由等比数列的前n项和公式知S8与S4同号，故S8＝9.答案：

9

4、设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有＝，

则＋的值为________．

解析：

∵{an}，{bn}为等差数列，∴＋＝＋＝＝.

∵＝＝＝＝，∴＝.答案：

5.在等差数列{an}中，a1＝－2013，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2013的值等于（　　）A．－2011B．－2012C．－2010 D．－2013

解析　根据等差数列的性质，得数列{}也是等差数列，

根据已知可得这个数列的首项＝a1＝－2013，

公差d＝1，故＝－2013＋（2013－1）×1＝－1，所以S2013＝－2013.

6.在等差数列{an}中，满足3a5＝5a8，Sn是数列{an}的前n项和．

（1）若a1>0，当Sn取得最大值时，求n的值；

（2）若a1＝－46，记bn＝，求bn的最小值．

解　

（1）设{an}的公差为d，则由3a5＝5a8，得3（a1＋4d）＝5（a1＋7d），∴d＝－a1.

∴Sn＝na1＋×＝－a1n2＋a1n＝－a1（n－12）2＋a1.

∵a1>0，∴当n＝12时，Sn取得最大值．

（2）由

（1）及a1＝－46，得d＝－×（－46）＝4，∴an＝－46＋（n－1）×4＝4n－50，

Sn＝－46n＋×4＝2n2－48n.

∴bn＝＝＝2n＋－52≥2－52＝－32，

当且仅当2n＝，即n＝5时，等号成立．

故bn的最小值为－32.

点评：

（1）在等差数列问题中其最基本的量是首项和公差，只要根据已知条件求出这两个量，其他问题就可随之而解，这就是解决等差数列问题的基本方法，其中蕴含着方程思想的运用．

（2）等差数列的性质

①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；

②Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，仍成等差数列；

③am－an＝（m－n）d⇔d＝（m，n∈N*）；

④＝（A2n－1，B2n－1分别为{an}，{bn}的前2n－1项的和）．

（3）数列{an}是等差数列的充要条件是其前n项和公式Sn＝f（n）是n的二次函数或一次函数且不含常数项，即Sn＝An2＋Bn（A2＋B2≠0）．

7.若数列满足＝（n∈N*，为常数），则称数列为“调和数列”．已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是（　　）A．10B．100C．200D．400

【知识点】等差数列的概念、等差数列的性质与基本不等式求最值

解：

因为正项数列为“调和数列”，则，即数列为等差数列，由等差数列的性质，则，所以，当且仅当即该数列为常数列时等号成立，所以选B.

【思路点拨】根据所给的新定义可得到数列为等差数列，从所给的项的项数特征可发现等差数列的性质特征，利用等差数列的性质即可得到则，再由和为定值求积的最大值利用基本不等式解答即可.

题型三：

数列与的关系的考查

考点总结：

已知与的关系，有目标把该关系统一到同想和和上，求或，这是常见的递推关系。

例：

已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an＋2Sn·Sn－1＝0（n≥2），a1＝.

（1）求证：

是等差数列；

（2）求an的表达式．

[审题视点]

（1）化简所给式子，然后利用定义证明．

（2）根据Sn与an之间关系求an.

（1）证明　∵an＝Sn－Sn－1（n≥2），又an＝－2Sn·Sn－1，

∴Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0，∴－＝2（n≥2）．

由等差数列的定义知是以＝＝2为首项，以2为公差的等差数列．

（2）解　由

（1）知＝＋（n－1）d＝2＋（n－1）×2＝2n，

∴Sn＝.当n≥2时，有an＝－2Sn×Sn－1＝－，

又∵a1＝，不适合上式，∴an＝

方法总结：

等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法，而对于通项公式法和前n项和公式法主要适合在选择题中简单判断．

变式练习：

1.已知是一个公差大于0的等差数列，且满足.

（1）求数列的通项公式;

（2）若数列和数列满足等式：

，求数列的前项和.

点拨：

（1）等差数列中，已知两条件可以算出两个基本量,再进一步求通项及前项和，当然若能利用等差数列的性质来计算，问题就简单多了.

（2）分组求和、倒序相加、错位相减、裂项相消等是常用的求和方法，这里利用

（1）的结论以及的关系求的通项公式，根据通项公式求前项和.

解：

（1）解法1：

设等差数列的公差为d，则依题设d>0，

由.得①由得②

由①得将其代入②得.即，

，代入①得

解法2：

等差数列中，，公差，，

（2）设，则有