立体几何练习题(精).doc

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立体几何练习题

1.设α、β、γ为两两不重合的平面，l、m、n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：

若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；

③若α∥β，l⊂α，则l∥β；④若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，l∥γ，则m∥n．

其中真命题的个数是（）

A．1 B．2 C．3 D．4

2.正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BD1与平面ABCD所成角的余弦值为（）

A． B． C D．

3.三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=2且AA1⊥平面ABC，△ABC是

边长为的正三角形，该三棱柱的六个顶点都在一个球面上，则这个球的体积为（）

A． 8π B． C． D． 8π

4.三个平面两两垂直，它们的三条交线交于点O，空间一点P到三个平面的距离分别为3、4、5，则OP长为（）

A． 5 B． 2 C． 3 D． 5

5.如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）

A． AC⊥SB

B． AB∥平面SCD

C． SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角

D． AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

6.如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD=1，设点CG到平面PAB的距离为d1，点B到平面PAC的距离为d2，则有（　　）

A．1＜d1＜d2 B．d1＜d2＜1

C．d1＜1＜d2 D．d2＜d1＜1

E

F

A

G

a

b

7.在锐角的二面角，，，，若与所成角为，则二面角为__________.

8.给出下列四个命题：

（1）若平面上有不共线的三点到平面的距离相等，则；

（2）两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条平行直线；

（3）两条异面直线中的一条平行于平面，则另一条必定不平行于平面；

（4）为异面直线，则过且与平行的平面有且仅有一个．

其中正确命题的序号是_______________________

9.已知正方体中，点E是棱的中点，则直线AE与平而所成角的正弦值是_________.

10.已知直三棱柱中，，，，为的中点，则与平面的距离为______

11.边长分别为、的矩形，按图中所示虚线剪裁后，可将两个小矩形拼接成一个正四棱锥的底面，其余恰好拼接成该正四棱锥的4个侧面，则的取值范围是．

12.已知矩形的长，宽，将其沿对角线折起，得到四面体，如图所示，

给出下列结论：

①四面体体积的最大值为；

②四面体外接球的表面积恒为定值；

③若分别为棱的中点，则恒有且；

④当二面角为直二面角时，直线所成角的余弦值为；

⑤当二面角的大小为时，棱的长为．

其中正确的结论有 （请写出所有正确结论的序号）．

13.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=BB1，直线B1C与平面ABC成30°角．

（I）求证：

平面B1AC⊥平面ABB1A1；

（II）求直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值．

14.如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA=AB=6，BC=8，DF=5．

（1）若PB⊥BC，证明平面BDE⊥平面ABC．

（2）求直线BD与平面ABC所成角的正切值．

15.如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点．

（1）求证：

直线BD1∥平面PAC；

（2）求证：

平面PAC⊥平面BDD1B1；

（3）求CP与平面BDD1B1所成的角大小．

16.如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上

（1）求证：

AC⊥平面PDB

（2）当PD=AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．

17.在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD中点．

（Ⅰ）求证：

PB∥平面ACM；

（Ⅱ）求证：

AD⊥平面PAC；

（Ⅲ）求二面角M﹣AC﹣D的正切值．

18.如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．

（1）证明：

BD⊥平面PAC；

（2）若PA=1，AD=2，求二面角B﹣PC﹣A的正切值．

19.如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA⊥CB，AA1=AC=CB=2，D是AB的中点．

（1）求证：

BC1∥平面A1CD；

（2）求证：

A1C⊥AB1；

（3）若点E在线段BB1上，且二面角E﹣CD﹣B的正切值是，求此时三棱锥C﹣A1DE的体积．

20.如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．

（1）求证：

AC⊥SD；

（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P﹣AC﹣D的大小；

（3）在

（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：

EC的值；若不存在，试说明理由．

试卷答案

1.B：

解：

若α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能平行也可能相交，故①错误；

由于m，n不一定相交，故α∥β不一定成立，故②错误；

由面面平行的性质定理，易得③正确；

由线面平行的性质定理，我们易得④正确；

故选B

2.D

考点：

棱柱的结构特征．

专题：

空间角．

分析：

找出BD1与平面ABCD所成的角，计算余弦值．

解答：

解：

连接BD，；

∵DD1⊥平面ABCD，∴BD是BD1在平面ABCD的射影，

∴∠DBD1是BD1与平面ABCD所成的角；

设AB=1，则BD=，BD1=，

∴cos∠DBD1===；

故选：

D．

点评：

本题以正方体为载体考查了直线与平面所成的角，是基础题．

3.C

考点：

球的体积和表面积．

专题：

计算题；空间位置关系与距离．

分析：

根据题意，正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的体积．

解答：

解：

由题意可知：

正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，

因为△ABC是边长为的正三角形，所以底面中心到顶点的距离为：

1；

因为AA1=2且AA1⊥平面ABC，所以外接球的半径为：

r==．

所以外接球的体积为：

V=πr3=π×（）3=．

故选：

C．

点评：

本题给出正三棱柱有一个外接球，在已知底面边长的情况下求球的体积．着重考查了正三棱柱的性质、正三角形的计算和球的体积公式等知识，属于中档题．

4.D

考点：

平面与平面垂直的性质．

专题：

计算题；空间位置关系与距离．

分析：

构造棱长分别为a，b，c的长方体，P到三个平面的距离即为长方体的共顶点的三条棱的长，OP为长方体的对角线，求出OP即可．

解答：

构造棱长分别为a，b，c的长方体，P到三个平面的距离即为长方体的共顶点的三条棱的长，

则a2+b2+c2=32+42+52=50

因为OP为长方体的对角线．

所以OP=5．

故选：

D．

点评：

本题考查点、线、面间的距离计算，考查计算能力，是基础题．

5.D

考点：

直线与平面垂直的性质．

专题：

综合题；探究型．

分析：

根据SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，以及三垂线定理，易证AC⊥SB，根据线面平行的判定定理易证AB∥平面SCD，根据直线与平面所成角的定义，可以找出∠ASO是SA与平面SBD所成的角，∠CSO是SC与平面SBD所成的角，根据三角形全等，证得这两个角相等；异面直线所成的角，利用线线平行即可求得结果．

解答：

解：

∵SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，

∴连接BD，则BD⊥AC，根据三垂线定理，可得AC⊥SB，故A正确；

∵AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，

∴AB∥平面SCD，故B正确；

∵SD⊥底面ABCD，

∠ASO是SA与平面SBD所成的角，∠DSO是SC与平面SBD所成的，

而△SAO≌△CSO，

∴∠ASO=∠CSO，即SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角，故C正确；

∵AB∥CD，∴AB与SC所成的角是∠SCD，DC与SA所成的角是∠SAB，

而这两个角显然不相等，故D不正确；

故选D．

点评：

此题是个中档题．考查线面垂直的性质定理和线面平行的判定定理，以及直线与平面所成的角，异面直线所成的角等问题，综合性强．

6.D

考点：

点、线、面间的距离计算．

专题：

综合题；空间位置关系与距离；空间角．

分析：

过C做平面PAB的垂线，垂足为E，连接BE，则三角形CEB为直角三角形，根据斜边大于直角边，再根据面PAC和面PAB与底面所成的二面角，能够推导出d2＜d1＜1．

解答：

解：

过C做平面PAB的垂线，

垂足为E，连接BE，

则三角形CEB为直角三角形，其中∠CEB=90°，

根据斜边大于直角边，得CE＜CB，即d2＜1．

同理，d1＜1．

再根据面PAC和面PAB与底面所成的二面角可知，前者大于后者，

所以d2＜d1．

所以d2＜d1＜1．

故选D．

点评：

本题考查空间距离的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意空间角的灵活运用．

7.

8.

（2）（4）

9.

10.1

11.

12.②③④

13.

考点：

平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．

专题：

证明题．

分析：

（I）欲证平面B1AC⊥平面ABB1A1，关键是寻找线面垂直，而AC⊥平面ABB1A1，又AC⊂平面B1AC，满足面面垂直的判定定理；

（II）过A1做A1M⊥B1A1，垂足为M，连接CM，∠A1CM为直线A1C与平面B1AC所成的角，然后在三角形A1CM中求出此角的正弦值即可．

解答：

解：

（I）证明：

由直三棱柱性质，B1B⊥平面ABC，

∴B1B⊥AC，又BA⊥AC，B1B∩BA=B，

∴AC⊥平面ABB1A1，又AC⊂平面B1AC，

∴平面B1AC⊥平面ABB1A1．

（II）解：

过A1做A1M⊥B1A1，垂足为M，连接CM，

∵平面B1AC⊥平面ABB1A，且平面B1AC∩平面ABB1A1=B1A，

∴A1M⊥平面B1AC．

∴∠A1CM为直线A1C与平面B1AC所成的角，

∵直线B1C与平面ABC成30°角，∴∠B1CB=30°．

设AB=BB1=a，可得B1C=2a，BC=，

∴直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值为

点评：

本题主要考查了平面与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．

14.

考点：

直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．

专题：

空间位置关系与距离；空间角．

分析：

（1）由已知得DE⊥AC，DE2+EF2=DF2，从而DE⊥平面ABC，由此能证明平面BDE⊥平面ABC．

（2）由DE⊥平面ABC，得∠DBE是直线BD与平面ABC所成的角，由此能求出直线BD与平面ABC所成角的正切值．

解答：

（1）证明：

∵在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．

PA⊥AC，PA=AB=6，BC=8，DF=5，

∴DE⊥AC，DE=3，EF=4，DF=5，

∴DE2+EF2=DF2，∴DE⊥EF，

又EF∩AC=F，∴DE⊥平面ABC，

又DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．

（2）∵DE⊥平面ABC，∴PA