立体几何理科总复习杨老师专题讲座共五讲1223.doc
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立体几何中的向量方法专题讲座共五讲20121223
第一讲平行与垂直
方法总结
1．位置关系：
（1）．两条异面直线相互垂直
证明方法：
证明两条异面直线所成角为90º；证明两条异面直线的方向量相互垂直。
（2）．直线和平面相互平行
证明方法：
证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个向量相互平行；证明这条直线的方向向量和这个平面的法向量相互垂直。
（3）．直线和平面垂直
证明方法：
证明直线和平面内两条相交直线都垂直，证明直线的方向量与这个平面内不共线的两个向量都垂直；证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行。
（4）．平面和平面相互垂直
证明方法：
证明这两个平面所成二面角的平面角为90º；证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面；证明两个平面的法向量相互垂直。
考点1.利用空间向量证明空间垂直问题
利用空间向量证明空间线线、线面、面面垂直问题是高考考查的重点内容，考查形式灵活多样，常与探索性问题、平行问题、空间角问题结合，考查形式可以是小题，也可以是解答题的一部分，或解答题的某个环节，题目容易，是高考中的重要得分点.
例1（2010辽宁理19））已知三棱锥P－ABC中，PA⊥面ABC，AB⊥AC，PA=AC=，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.证明：
CM⊥SN；
审题要津：
本题空间坐标系易建立，可用坐标法.
证明：
设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图，则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,），N（,0,0），S（1,,0）
因为，所以CM⊥SN.
【点评】对坐标系易建立的空间线线垂直判定（证明）问题，常用向量法，即通过证明所证直线的方向向量的数量积为0证明两直线垂直.
例2（2010天津理19）在长方体中，、分别是棱,上的点，==,=.证明平面
审题要津：
本题空间坐标系易建立，可用坐标法.
解析：
如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设,依题意得,,,已知,,于是·=0，·=0.因此，,,又所以平面
【点评】对坐标系易建立的空间线面垂直问题，通常用向量法，先求出平面的法向量和直线的方向向量，证明平面法向量与直线的方向向量平行或者直接用向量法证明直线与平面内两条相交直线垂直，再用线面垂直判定定理即可.
例3（2010年山东文）在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面，，、、分别为、、的中点，且.求证：
平面平面.
审题要津：
本题空间坐标系易建立，可用坐标法.
解析：
以A为原点，向量,,分别为轴、轴、轴的正方向，如图建立坐标系，设AM=1，则AD=AB=PD=2,则B（0,2,0）,C（－2,2,0）,D（－2,0,0）,P（－2,0,2）,M（0,0,1）,则E（0,1,）,G（－1,1,1）,F（－2,1,1），∴=（-1,0,）,=（－1,0,0）,设平面EFG的法向量=（，，），则
==0且==0，取=1，则==0，∴=（0，1,0）,
易证面PDC的法向量为=（2,0,0）,∵==0,
∴⊥,∴平面平面
【点评】对于易建立空间坐标系的面面垂直问题，常向量法，即先建立坐标系，求出两个平面的法向量，通过证明这两个平面的法向量垂直，即得面面垂直.
考点2.利用空间向量处理空间平行关系
空间线线、线面、面面平行关系问题是高考考查的另一个重点内容，考查的形式灵活多样，常与探索性问题、垂直问题、空间角问题结合，可以是小题，也可以是解答题的一个小题，题目的难度一般不大，是高考中的得分点之一.
证直线和平面平行定理：
已知直线平面，，且C、D、E三点不共线，则a∥的充要条件是存在有序实数对使.（常设求解若存在即证毕，若不存在，则直线AB与平面相交）.
例1（2010湖南理18）在正方体，E是棱的中点。
在棱上是否存在一点F，使∥平面?
证明你的结论。
审题要津：
本题坐标系易建立，可用向量法求解.
解析：
以A为坐标原点，如图建立坐标系，设正方形的棱长为2，则B（2,0,0）,E（0,2,1）,（0,0,2）,（2,0,2），
∴=（－2,2,1）,=（－2，0，2），
设面的法向量为=（，，），则
==0且==0，取=1，则=－1，=，∴=（1，，－1）,假设在棱上存在一点F，使∥平面，设F（，2，2）（0≤≤2）,则=（，2，2），则==0，
解得=1，∴当F为中点时，∥平面.【点评】对于易建立坐标系的线面平行问题的向量解法，有两种思路：
（1）用共面向量定理，证明直线的方向向量能用平面内两条相交直线的方向向量表示出来，即这三个向量共线，根据共面向量概念和直线在平面外，可得线面平行；
（2）求出平面法向量，然后证明法向量与直线的方向向量垂直即可.对于探索性问题，通常先假设成立，设出相关点的坐标，利用相关知识，列出关于坐标的方程，若方程有解，则存在，否则不存在.注意，
（1）设点的坐标时，利用点在某线段上，设出点分线段所成的比，用比表示坐标可以减少未知量，简化计算;
（2）注意点的坐标的范围.
例2在三棱柱中，侧棱垂直于底面，在底面ABC中=,D是BC上一点，且∥面，为的中点，求证：
面∥面.
审题要津：
本题的坐标系容易建立，可用向量法.
解析：
以B点为原点，如图建立坐标系，设AB=，BC=，=，则A（,0,0），（0，，），（0,0,），（，0，），∴（0，，），设D（0，，0）（0≤≤），
∴=（－，，0），=（－，，），=（，0，），=（0，，），
设面的法向量为=（，，），则==0且==0，取=，则=，=，则=（，，），又∵∥面，
∴==0，解得=，∴=（，，），
设面的法向量为=（,,）,则==0且==0，
取=1，则=，=，则=（，，1），∴=，∴∥，∴面∥面.【点评】对面面平行问题的向量方解法有两种思路，
（1）利用向量证明一个面内两条相交直线分别与另一个平面平行，根据面面判定定理即得；
（2）求出两个平面的法向量，证明这两个法向量平行，则这两个面就平行.
专题训练一证明空间线面平行与垂直
1.如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点，（I）求证：
AC⊥BC1；（II）求证：
AC1//平面CDB1；
解析：
（1）证明线线垂直方法有两类：
一是通过三垂线定理或逆定理证明，二是通过线面垂直来证明线线垂直；
（2）证明线面平行也有两类：
一是通过线线平行得到线面平行，二是通过面面平行得到线面平行.答案:
解法一：
（I）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，
∴AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴AC⊥BC1；
（II）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵D是AB的中点，E是BC1的中点，
A
B
C
A1
B1
C1
E
x
y
z
∴DE//AC1，∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1，
∴AC1//平面CDB1；
解法二：
∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC、BC、C1C两两垂直，如图，以C为坐标原点，直线CA、CB、C1C分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则C（0,0，0），A（3,0，0），C1（0,0，4），B（0,4，0），B1（0,4，4），D（，2,0）
（1）∵＝（－3,0，0），＝（0，－4,0），∴•＝0，∴AC⊥BC1.
（2）设CB1与C1B的交战为E，则E（0,2，2）.∵＝（－，0,2），＝（－3,0，4），∴，∴DE∥AC1.
点评：
转化
转化
2．平行问题的转化：
面面平行线面平行线线平行；
主要依据是有关的定义及判定定理和性质定理．
2.（two）如图所示，四棱锥P—ABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点。
（1）求证：
BM∥平面PAD；
（2）在侧面PAD内找一点N，使MN平面PBD；
（3）求直线PC与平面PBD所成角的正弦。
解析：
本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，
二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.
答案：
（1）是的中点，取PD的中点，则
，又
四边形为平行四边形
∥，
∥ （4分）
（2）以为原点，以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，
在平面内设，，，由由是的中点，此时 （8分）
（3）设直线与平面所成的角为，，设为
故直线与平面所成角的正弦为 （12分）
解法二：
（1）是的中点，取PD的中点，则
，又
四边形为平行四边形
∥，
∥ （4分）
（2）由
（1）知为平行四边形
，又
同理，
为矩形∥，，又
作故交于，在矩形内，，，为的中点
当点为的中点时， （8分）
（3）由
（2）知为点到平面的距离，为直线与平面所成的角，设为，直线与平面所成的角的正弦值为
点评：
（1）证明线面平行只需证明直线与平面内一条直线平行即可；
（2）求斜线与平面所成的角只需在斜线上找一点作已知平面的垂线，斜线和射影所成的角，即为所求角；（3）证明线面垂直只需证此直线与平面内两条相交直线垂直变可.这些从证法中都能十分明显地体现出来
第二讲-------空间夹角
利用空间向量处理异面直线夹角、线面角、二面角等空间角问题
异面直线夹角、线面角、二面角等空间角问题是高考考查的热点和重点，常与探索性问题、平行问题、垂直等问题结合，重点考查综合利用空间向量、空间平行与垂直的有关定理、空间角的相关概念解决空间角问题的能力，是立体几何中的难点，难度为中档难度.
（二）、知识梳理，方法定位（学生完成复资P132页填空题，教师准对问题讲评）
1．空间中各种角包括：
异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。
（1）异面直线所成的角的范围是。
求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。
具体步骤如下：
①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角；③利用三角形来求角。
（2）直线与平面所成的角的范围是。
求直线和平面所成的角用的是射影转化法。
D
B
A
C
具体步骤如下：
①找过斜线上一点与平面垂直的直线；
②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；
③把该角置于三角形中计算。
注：
斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，α为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有；
（3）确定点的射影位置有以下几种方法：
①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；
②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；
③两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；
④利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：
a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；
b.如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心（或旁心）；
c.如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；
（4
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