立体几何中折叠与展开问题(2).doc
《立体几何中折叠与展开问题(2).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《立体几何中折叠与展开问题(2).doc（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
立体几何中折叠与展开问题
（2）
【知识与方法】
折叠与展开问题是立体几何的两个重要问题，这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现。
处理这类题型的关键是抓住两图的特征关系。
折叠问题是立体几何的一类典型问题是实践能力与创新能力考查的好素材。
解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，并弄清折叠前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化。
这些未变化的已知条件都是我们分析问题和解决问题的依据。
而表面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程，一般地，涉及到多面体表面的问题，解题时不妨将它展开成平面图形试一试。
【认知训练】
1.△ABC的BC边上的高线为AD，BD=a，CD=b，将△ABC沿AD折成大小为θ的二面角B-AD-C，若，则三棱锥A-BCD的侧面三角形ABC是（）
A、锐角三角形B、钝角三角形
C、直角三角形D、形状与a、b的值有关的三角形
2.如图为棱长是1的正方体的表面展开图，在原正方体中，给出下列三个命题：
A
B
C
D
E
F
M
N
①点M到AB的距离为
②三棱锥C－DNE的体积是
③AB与EF所成角是
其中正确命题的序号是
3．将下面的平面图形（每个点都是正三角形的顶点或边的中点）沿虚线折成一个正四面体后，直线与是异面直线的是……………………………………………（）
M
N
P
Q
M
P
Q
N
M
N
P
Q
M
N
P
Q
①②③④
A．①②B．②④C．①④D．①③
4.正方形ABCD中，M为AD的中点，N为AB中点，沿CM、CN分别将三角形CDM和△CBN折起，使CB与CD重合，设B点与D点重合于P，设T为PM的中点，则异面直线CT与PN所成的角为（）A,300B,450C,600D,900）
5.（06山东卷）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,
∠DAB=60°,E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、
EC向上折起，使A、B重合于点P，则P－DCE三棱锥的
外接球的体积为
（A）（B）（C）（D）
6.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形，
C1
C
B
A1
ÐACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝，P是BC1上一动点，则CP＋PA1
的最小值是___________
7.用一张正方形的包装纸把一个棱长为a的立方体完全包住，不能将正方形纸撕开，所需包装纸的最小面积为
A.B．C.D.
【能力训练】
例1.点是边长为4的正方形的中心，点，分别是，的中点．沿对角线把正方形折成直二面角D－AC－B．
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）求二面角的大小．
例2.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=3，AA1=4,M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M点的最短路线长为，设这条最短路线与C1C的交点为N。
求
1）该三棱柱的侧面展开图的对角线长；
2）PC和NC的长；
3）平面NMP和平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）
A
B
C
D
G
E
例3.已知△ABC的边长为3，D、E分别是边BC上的三等分点，沿AD、AE把△ABC折成A－DEF，使B、C两点重合于点F，且G是DE的中点
（1）求证：
DE⊥平面AGF
（2）求二面角A―DE―F的大小；
（3）求点F到平面ADE的距离.
例4（江苏卷）在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:
EB＝CF:
FA＝CP:
PB＝1:
2（如图1）。
将△AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）
（Ⅰ）求证：
A1E⊥平面BEP；
（Ⅱ）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；
图1
图2
（Ⅲ）求二面角B－A1P－F的大小（用反三角函数表示）
例5.（辽宁卷）已知正方形.、分别是、的中点,将沿折起,如图所示,记二面角的大小为.
（I）证明平面;
（II）若为正三角形,试判断点在平面内的射影是否在直线上,证明你的结论,并求角的余弦值.
A
A
C
B
D
E
F
B
C
D
E
F
【达成测试】
1.长方形中，AB=BC,把它折成正三棱柱的侧面，使AD与BC重合，长方形的对角线AC与折痕线EF、GH分别交于M、N,则截面MNA与棱柱的底面DFH所成的角等于（）
A．30oB．45oC．60oD．90o
2．如图9—99是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC的值为（ ）
图9—99
A．180°B．120° C．45° D．60°
3.如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，
G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点.将△ABC
沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度
数为（）
A．90° B．60°
C．45° D．0°
4.如图9—100表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有_____对．
图9—100 图9—101
【分析】平面图形的翻折应注意翻折前后各元素相对位置的变化，AB、CD、EF和GH在原正方体中如图9—101．有AB与CD、EF与GH、AB和GH三对异面直线．
5.如下图，在下列六个图形中，每个小四边形皆为全等的正方形，那么沿其正方形相邻边折叠，能够围成正方体的是_____________（要求：
把你认为正确图形的序号都填上）
①②③
④⑤⑥
6.设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E（如图）．现将△ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于_________．
6.解：
如左图,在平面AED内作MQ∥AE交ED于Q,则MQ⊥ED,且Q为ED的中点,连结QN,则NQ⊥ED且QN∥EB,QN=EB,∠MQN为二面角A－DE－B的平面角,
∴∠MQN=45°∵AB⊥平面BCDE,又∠AEB=∠MQN=45°,MQ=AE=EB,在平面MQN内作MP⊥BQ,得QP=MP=EB,故PB=QP=EB,故QMN是以∠QMN为直角的等腰三角形,即MN⊥QM,也即MN子AE所成角大小等于90°
7.如图，已知正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周
到达点的最短路线的长为 .
8.如图，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，
（Ⅰ）证明：
AC⊥BO1；
（Ⅱ）求二面角O－AC－O1的大小。
A
B
C
D
O
O1
A
B
O
C
O1
D
9.如图4，在正三棱锥A－BCD中，底面边长为a，侧棱长为2a，E、F分别为AC、AD上的动点，求截面△BEF的周长的最小值，以及此时E、F的位置。
10.如图：
在直角三角形ABC中，已知AB=a，∠ACB=30o，∠B=90o,D为AC的中点，E为BD的中点，AE的延长线交BC于F，将△ABD沿BD折起，二面角A'-BD-C的大小记为θ。
⑴求证：
平面A'EF^平面BCD；
⑵θ为何值时A'B^CD？
⑶在⑵的条件下，求点C到平面A'BD的距离。
E
E
A
B
A’“‘
F
D
C
B
F
C
D
折叠与展开问题参考答案
【认知训练】
1.答案：
C
点评：
将平面图形折成空间图形后线面位置关系理不清，易瞎猜。
2.答案:
①②③，把所给平面图复原成
N
A
C
F
E
B
D
M
3.C
4.取AN的中点S，则PN2+PT2=TS2+SN2=TN2∴PN⊥PT，又PN⊥PC∴PN⊥平面CMP，选D
5.解：
易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，故外接球半径为，外接球的体积为，选C
6.解：
连A1B，沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平
面内，如图所示，连A1C，则A1C的长度就是所求的最小值。
通过计算可得ÐA1C1C＝90°又ÐBC1C＝45°，
\ÐA1C1C＝135°由余弦定理可求得A1C＝
7.试题背景：
本题与以往把立体图简单地展开为平面图是不一样的，因为正方形的纸不能撕开来。
此题情境新颖，具有较高的探索价值，类似于2002年文史类最后一道高考附加题。
解析：
将正方形纸如图划分，
其中BC=2AB=2CD，用标III
的部分作下底面，标II的部
分作四个侧面，标I的部分
正好盖住立方体的上底面。
由题意知，标I的部分正好盖住立方体的上底面。
由题意知，标II的正方形的边长为a，所以正方形纸的边长为，面积为。
故选B。
评析：
新世纪的高考试题的新颖性越来越明显，能力要求也越来越高，并且也越来越广泛。
要在“创新”的大环境下来面对高考，我们应把握好平时的一些新颖试题，充分挖掘其立意，举一反三，广泛联系，以适应新课程的理念及新时代的高考。
【能力训练】
例1.解法一：
（Ⅰ）如图，过点E作EG⊥AC，垂足为G，过点F作FH⊥AC，垂足为H，则，．
G
H
M
A
B
C
D
E
F
O
D
C
M
H
G
O
F
A
B
E
因为二面角D－AC－B为直二面角，
又在中，，
．
．
（Ⅱ）过点G作GM垂直于FO的延长线于点M，连EM．
∵二面角D－AC－B为直二面角，∴平面DAC⊥平面BAC，交线为AC，又∵EG⊥AC，∴EG⊥平面BAC．∵GM⊥OF，由三垂线定理，得EM⊥OF．
∴就是二面角的平面角．
在RtEGM中，，，，
∴．∴．
所以，二面角的大小为．
x
y
z
A
B
C
D
E
F
O
解法二：
（Ⅰ）建立如图所示的直角坐标系O－xyz，
则，．
．
．
（Ⅱ）设平面OEF的法向量为．
由得
解得．
所以，．
又因为平面AOF的法向量为，
．∴．
所以，二面角的大小为．
例2.正解：
①正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为
②如图1，将侧面BC1旋转使其与侧面AC1在同一平
升级会员 