特级教师高考复习方法指导高中数学知识点总结解析版.doc
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特级教师高考复习方法指导
高中数学知识点总结解析版
1．对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。
如：
集合中元素各表示什么？
2．进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
如：
集合，若，则实数的值构成的集合为
答：
3．注意下列性质：
（1）集合的所有子集的个数是
（2）若
（3）德摩根定律：
4．你会用补集思想解决问题吗？
（排除法、间接法）
如：
已知关于的不等式的解集为，若且，求实数的取值范围。
5．可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”（）、“且”（）和“非”（）
若为真，当且仅当均为真
若为真，当且仅当至少有一个为真
若为真，当且仅当为假
6．命题的四种形式及其相互关系是什么？
（互为逆否关系的命题是等价命题。
）
原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。
7．对映射的概念了解吗？
映射f：
A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？
（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。
）
8．函数的三要素是什么？
如何比较两个函数是否相同？
（定义域、对应法则、值域）
9．求函数的定义域有哪些常见类型？
例：
函数的定义域是
答：
10．如何求复合函数的定义域？
如：
函数的定义域是，，则函数的定义域是_____________。
答：
11．求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？
如：
，求
令，则，∴，∴，
∴
12．反函数存在的条件是什么？
（一一对应函数）
求反函数的步骤掌握了吗？
（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）
如求函数的反函数
答：
13．反函数的性质有哪些？
①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；
②保存了原来函数的单调性、奇函数性；
③设的定义域为，值域为，，，则，∴
14．如何用定义证明函数的单调性？
（取值、作差、判正负）
如何判断复合函数的单调性？
（外层），（内层），则
当内、外层函数单调性相同时，为增函数，否则为减函数
如：
求的单调区间。
设，由，则且，，如图
当时，，又，∴
当时，，又，∴
∴……）
15．如何利用导数判断函数的单调性？
在区间内，若总有，则为增函数。
（在个别点上导数等于零，不影响函数的单调性），反之也对，若呢？
如：
已知，函数在上是单调增函数，则的最大值是
A．0 B．1 C．2 D．3
令，则或，
由已知在上是增函数，则，即，∴的最大值为3
16．函数具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？
（定义域关于原点对称）
若总成立为奇函数函数图像关于原点对称
若总成立为偶函数函数图像关于轴对称
注意如下结论：
（1）在公共定义域内：
两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
（2）若是奇函数且定义域中有原点，则
如：
若为奇函数，则实数
∵为奇函数，，又，∴，即，∴
又如：
为定义在上的奇函数，当时，，求在上的解析式。
令，则，
又为奇函数，∴
又，∴
17．你熟悉周期函数的定义吗？
若存在实数，在定义域内总有，则为周期函数，T是一个周期。
如：
若，则
答：
是周期函数，为的一个周期。
又如：
若图像有两条对称轴，即，，则是周期函数，为一个周期
如图：
18．你掌握常用的图象变换了吗？
与的图像关于轴对称
与的图像关于轴对称
与的图像关于原点对称
与的图像关于直线对称
与的图像关于直线对称
与的图像关于点对称
将图像
注意如下“翻折”变换：
如：
作出及的图像
19．你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？
（1）
（2）反比例函数：
推广为是中心的双曲线。
（3）二次函数的图像为抛物线
顶点坐标为，对称轴
开口方向：
，向上，函数
，向下，
应用：
①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程，时，两根为二次函数的图像与轴的两个交点，也是二次不等式解集的端点值。
②求闭区间［m，n］上的最值。
③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。
如：
二次方程的两根都大于，一根大于，一根小于
（4）指数函数：
（5）对数函数：
由图象记性质！
（注意底数的限定！
）
（6）“对勾函数”
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？
20．你在基本运算上常出现错误吗？
指数运算：
，，，
对数运算：
对数恒等式：
对数换底公式：
21．如何解抽象函数问题？
（赋值法、结构变换法）
如：
（1），满足，证明为奇函数。
先令，再令
（2），满足，证明为偶函数。
先令，∴，
∴
（3）证明单调性：
22．掌握求函数值域的常用方法了吗？
（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。
）
如求下列函数的最值：
（1）
（2）
（3）
（4）（设）
（5）
23．你记得弧度的定义吗？
能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？
24．熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义
如：
若，则的大小顺序是
又如：
求函数的定义域和值域。
∵，∴
∴
25．你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？
并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？
对称点为
的增区间为，减区间为，图像的对称点为，对称轴为
的增区间为，减区间为，图像的对称点为，对称轴为
的增区间为
26．正弦型函数的图像和性质要熟记。
（或）
（1）振幅，周期
若，则为对称轴；若，则为对称点，反之也对
（2）五点作图：
令依次为，求出与，依点（，）作图象。
（3）根据图像求解析式。
（求值）
如图列出，解条件组求值
正切型函数
27．在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。
如：
，求值。
∵，∴，∴，∴
28．在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？
如：
函数的值域是
时，，时，，∴
29．熟练掌握三角函数图象变换了吗？
（平移变换、伸缩变换）
平移公式：
（1）点，则
（2）曲线沿向量平移后的方程为
如：
函数的图像经过怎样的变换才能得到的图象？
30．熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？
如：
称为1的代换。
“”化为的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限”，“奇”、“偶”指k取奇、偶数。
如：
又如：
函数，则的值为
A．正值或负值 B．负值 C．非负值 D．正值
，∵
31．熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？
理解公式之间的联系：
，
，
应用以上公式对三角函数式化简。
（化简要求：
项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。
）
具体方法：
（1）角的变换：
如
（2）名的变换：
化弦或化切
（3）次数的变换：
升、降幂公式
（4）形的变换：
统一函数形式，注意运用代数运算。
如：
已知，，求的值。
由已知得：
，∴
又，
∴
32．正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？
如何实现边、角转化，而解斜三角形？
余弦定理：
（应用：
已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。
）
正弦定理：
∵，∴，∴
如：
中，
（1）求角
（2）若，求的值
（1）由已知得
又，∴，∴或（舍）
又，∴
（2）由正弦定理及得
，∴
33．用反三角函数表示角时要注意角的范围。
反正弦：
反余弦：
反正切：
34．不等式的性质有哪些？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）或
如：
若，则下列结论不正确的是
A． B． C． D．
答案：
C
35．利用均值不等式：
求最值时，你是否注意到“”且“等号成立”时的条件，积（）和（）其中之一为定值？
（一正、二定、三相等）
注意如下结论：
，当且仅当时等号成立
，当且仅当时等号成立
，则
如：
若的最大值为
设，当且仅当成立，
又，∴时，
又如：
，则的最小值为
∵，∴最小值为
36．不等式证明的基本方法都掌握了吗？
（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）
并注意简单放缩法的应用。
如：
证明
37．解分式不等式的一般步骤是什么？
（移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。
）
38．用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始
如：
39．解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论
如：
对数或指数的底分或讨论
40．对含有两个绝对值的不等式如何去解？
（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。
）
如：
解不等式
解集为
41．会用不等式证明较简单的不等问题
如：
设，实数满足，求证：
证明：
又，∴，∴
（按不等号方向放缩）
42．不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？
（可转化为最值问题，或“△”问题）
如：
恒成立的最小值
恒成立的最大值
能成立的最小值
如：
对于一切实数，若恒成立，则的取值范围是
设，它表示数轴上到两定点和3距离之和
，∴，即
或者：
，∴
43．等差数列的定义与性质
定义：
（为常数），
等差中项：
成等差数列
前项和
性质：
是等差数列
（1）若，则
（2）数列仍为等差数列，仍为等差数列
（3）若三个成等差数列，可设为
（4）若是等差数列，为前项和，则
（5）为等差数列（为常数，是关于的常数项为0的二次函数）
的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界项，
即：
当，解不等式组可得达到最大值时的值。
当，由可得达到最小值时的值。
如：
等差数列，，则
由，∴
又，∴
∴，∴
44．等比数列的定义与性质
定义：
（为常数，），
等比中项：
成等比数列，或
前项和：
（要注意！
）
性质：
是等比数列
（1）若，则
（2）仍为等比数列
45．由求时应注意什么？
时，，时，
46．你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？
例如：
（1）求差（商）法
如：
数列，，求
解：
时，，∴ ①
时， ②
①—②得：
，∴，∴
［练习］数列满足，求
注意到，代入得
又，∴是等比数列，
时，
（2）叠乘法
如：
数列中，，求
解：
，∴
又，∴
（3）等差型递推公式
由，求，用迭加法
时，两边相加得
∴
［练习］数列中，，求
（4）等比型递推公式
（为常数，）
可转化为等比数列，设
令，∴，∴是首项为为公比的等比数列
∴，∴
［练习］数列满足，求
（5）倒数法
如：
，求
由已知得：
，∴
∴为等差数列，，公差为，∴，
∴
47．你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？
例如：
（1）裂项法：
把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。
如：
是公差为的等差数列，求
解：
由
∴
［练习］
求和：
（2）错位相减法：
若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项和，可由，求，其中为的公比。
如：
①
②
①—②
时，，时，
（3）倒序相加法：
把
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