3、三角形中的基本关系：
4、正弦定理：
在中，、、分别为角、、的对边，为的外接圆的半径，则有．
5、正弦定理的变形公式：
①化角为边：
，，；
②化边为角：
，，；
③；
④．
6、两类正弦定理解三角形的问题：
①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.
②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解））
7、三角形面积公式：
．
8、余弦定理：
在中，有，，
．
9、余弦定理的推论：
，，．
10、如何判断三角形的形状：
判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式
设、、是的角、、的对边，则：
①若，则；②若，则；
③若，则．
题型之一：
求解斜三角形中的基本元素
指已知两边一角（或二角一边或三边），求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线（高线、角平分线、中线）及周长等基本问题．
1.在中，AB=3，AC=2，BC=，则（）
A．B．C．D．
【答案】D
4（2005年全国高考江苏卷）中，，BC＝3，则的周长为（）
A．B．
C．D．
分析：
由正弦定理，求出b及c，或整体求出b＋c，则周长为3＋b＋c而得到结果．选（D）．
5（2005年全国高考湖北卷）在ΔABC中，已知，AC边上的中线BD=，求sinA的值．
分析：
本题关键是利用余弦定理，求出AC及BC，再由正弦定理，即得sinA．
解：
设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且，设BE＝x
在ΔBDE中利用余弦定理可得：
，
，解得，（舍去）
故BC=2，从而，即又，
故，
在△ABC中，已知a＝2，b＝，C＝15°，求A。
答案：
题型之二：
判断三角形的形状：
给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状．
1.（2005年北京春季高考题）在中，已知，那么一定是（）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形
解法1：
由＝sin（A＋B）＝sinAcosB＋cosAsinB，
即sinAcosB－cosAsinB＝0，得sin（A－B）＝0，得A＝B．故选（B）．
解法2：
由题意，得cosB＝，再由余弦定理，得cosB＝．
∴＝，即a2＝b2，得a＝b，故选（B）．
评注：
判断三角形形状，通常用两种典型方法：
⑴统一化为角，再判断（如解法1），⑵统一化为边，再判断（如解法2）．
2．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（）
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
答案：
C
解析：
2sinAcosB＝sin（A＋B）＋sin（A－B）又∵2sinAcosB＝sinC，
∴sin（A－B）＝0，∴A＝B
3.在△ABC中，若，试判断△ABC的形状。
答案：
故△ABC为等腰三角形或直角三角形。
4.在△ABC中，，判断△ABC的形状。
答案：
△ABC为等腰三角形或直角三角形。
题型之三：
解决与面积有关问题
主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题．
1.（2005年全国高考上海卷）在中，若，，，
则的面积S＝_________
2．在中，，，，求的值和的面积。
答案：
3.（07浙江理18）已知的周长为，且．
（I）求边的长；
（II）若的面积为，求角的度数．
解：
（I）由题意及正弦定理，得，，
两式相减，得．
（II）由的面积，得，
由余弦定理，得，
所以．
题型之四：
三角形中求值问题
1.（2005年全国高考天津卷）在中，所对的边长分别为，
设满足条件和，求和的值．
分析：
本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理．
解：
由余弦定理，因此，
在△ABC中，∠C=180°－∠A－∠B=120°－∠B.
由已知条件，应用正弦定理
解得从而
2．的三个内角为，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。
解析：
由A+B+C=π，得=－，所以有cos=sin。
cosA+2cos=cosA+2sin=1－2sin2+2sin=－2（sin－）2+；
当sin=，即A=时,cosA+2cos取得最大值为。
3．在锐角中，角所对的边分别为，已知，
（1）求的值；
（2）若，，求的值。
解析：
（1）因为锐角△ABC中，A＋B＋C＝p，，所以cosA＝，
则
（2），则bc＝3。
将a＝2，cosA＝，c＝代入余弦定理：
中，
得解得b＝。
点评：
知道三角形边外的元素如中线长、面积、周长等时，灵活逆用公式求得结果即可。
4．在中，内角对边的边长分别是，已知，．
（Ⅰ）若的面积等于，求；
（Ⅱ）若，求的面积．
本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．满分12分．
解：
（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，，
又因为的面积等于，所以，得． 4分
联立方程组解得，． 6分
（Ⅱ）由题意得，
即， 8分
当时，，，，，
当时，得，由正弦定理得，
联立方程组解得，．
所以的面积． 12分
题型之五：
正余弦定理解三角形的实际应用
利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下：
（一.）测量问题
图1
A
B
C
D
1.如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸标记物C，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm，求河的宽度。
分析：
求河的宽度，就是求△ABC在AB边上的高，而在河的一边，已测出AB长、∠CAB、∠CBA，这个三角形可确定。
解析：
由正弦定理得
，∴AC=AB=120m，又∵，解得CD=60m。
点评：
虽然此题计算简单，但是意义重大，属于“不过河求河宽问题”。
（二.）遇险问题
2某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30°北。
若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？
西
北
南
东
A
B
C
30°
15°
图2
解析：
如图舰艇在A点处观测到灯塔S在东15°北的方向上；舰艇航行半小时后到达B点，测得S在东30°北的方向上。
在△ABC中，可知AB=30×0.5=15，∠ABS=150°，∠ASB=15°，由正弦定理得BS=AB=15，过点S作SC⊥直线AB，垂足为C，则SC=15sin30°=7.5。
这表明航线离灯塔的距离为7.5海里，而灯塔周围10海里内有暗礁，故继续航行有触礁的危险。
点评：
有关斜三角形的实际问题，其解题的一般步骤是：
（1）准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；
（2）画出示意图，并将已知条件在图形中标出；（3）分析与所研究问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理求解。
数列复习基本知识点及经典结论总结
1、数列的概念：
数列是按一定次序排成的一列数。
数列中的每一个数都叫做这个数列的项。
数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的通项公式。
递推关系式：
已知数列的第一项（或前几项），且任何一项与它的前一项（前n项）间的关系可以用一个式子来表示，则这个式子就叫数列的递推关系式。
数列的前n项和：
.
已知求的方法（只有一种）：
即利用公式=注意：
一定不要忘记对n取值的讨论！
最后，还应检验当n=1的情况是否符合当n2的关系式，从而决定能否将其合并。
2.等差数列的有关概念：
1、等差数列的定义：
如果数列从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。
即.（或）.
（1）等差数列的判断方法：
①定义法：
为等差数列。
②中项法：
为等差数列。
③通项公式法：
（a,b为常数）为等差数列。
④前n项和公式法：
（A,B为常数）为等差数列。
（2）等差数列的通项：
或。
公式变形为:
.其中a=d,b=－d.
（3）等差数列的前和：
，。
公式变形为：
，其中A=，B=.注意：
已知n,d,,,中的三者可以求另两者，即所谓的“知三求二”。
如
（1）数列中，，，前n项和，则＝＿，＝＿（答：
，）；
（2）已知数列的前n项和，求数列的前项和（答：
）.
（4）等差中项：
若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。
提醒：
（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：
、、、及，其中、称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，…（公差为）；偶数个数成等差，可设为…，,…（公差为2）
3.等差数列的性质：
（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0.
（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。
（3）对称性：
若是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之和.当时,则有，特别地，当时，则有.如
（1）等差数列中，，则＝____（答：
27）；
（4）单调性：
设d为等差数列的公差，则
d>0是递增数列；d<0是递减数列；d=0是常数数列
（5）若等差数列、的前和分别为、，且，则.如设{}与{}是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么___________（答：
）
（8）8、已知成等差数列，求的最值问题：
法一：
利用邻项变号法
①若,d<0且满足,则最大；
②若,d>0且满足,则最小.
法二：
因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。
上述两种方法是运用了哪种数学思想？
（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？
如
（1）等差数列中，，，问此数列前多少项和最大？
并求此最大值。
（答：
前13项和最大，最大值为169）；
（2）若是等差数列，首项，
，则使前n项和成立的最大正整数n是（答：
4006）
4.等比数列的有关概念：
如果数列从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫等比数列的公比。
即（或
（1）等比数列的判断方法：
定义法，其中或
。
如
（1）一个等比数列{}共有项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则为____（答：
）；
（2）数列中，=4+1（）且=1，若，求证：
数列｛｝是等比数列。
（2）等比数列的通项：
或。
如设等比数列中，，，前项和＝126，求和公比.（答：
，或2）
（3）等比数列的前和：
当时，；当时，。
如
（1）等比数列中，＝2，S99=77，求（答：
44）
特别提醒：
等比数列前项和公式有两种形式，为此在求等比数列前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比是否为1时，要对分和两种情形讨论求解。
（4）等比中项：
如果a、G、b三个数成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G=.提醒：
不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个。
如已知两
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