泰州市2017-2018第一学期期末高二数学(文科)试题.doc
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2017~2018学年度第一学期期末考试
高二数学(文科)试题
(考试时间:
120分钟;总分:
160分)
命题人:
张圣官张敏
审题人:
杨鹤云唐咸胜
一、填空题:
(本大题共14小题,每小题5分,共70分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上.)
1.命题“若,则”的逆命题为▲.
2.复数(为虚数单位)在复平面上对应的点的坐标为▲.
3.抛物线的准线方程为▲.
4.函数在处的切线的斜率为▲.
5.双曲线的渐近线的方程为▲.
6.椭圆在其上一点处的切线方程为.
类比上述结论,双曲线在其上一点处的切线方程为
▲.
7.若“”是“不等式”成立的充分条件,则实数的取值范围是
▲.
8.抛物线上一点到其焦点的距离为,则▲.
9.已知,若(),则▲.
10.已知双曲线左支上一点到左焦点的距离为16,则点到右准线的距离为▲.
11.为椭圆上一点,,则线段长度的最小值为▲.
12.若函数在处取得极小值,则的取值范围是
▲.
13.已知椭圆:
的左、右焦点分别为,点在椭圆上,且,则当时,椭圆的离心率的取值范围为▲.
14.已知函数在上单调递增,则的取值范围为▲.
二、解答题:
(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
15.(本题满分14分)
已知复数.
⑴求;
⑵若复数满足为实数,求.
16.(本题满分14分)
已知:
,;
:
方程表示双曲线.
⑴若为真命题时,求实数的取值范围;
⑵当为假命题,且为真命题,求实数的取值范围.
17.(本题满分14分)
⑴当时,求证:
;
⑵已知,.试证明至少有一个不小于.
18.(本题满分16分)
某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒,现准备在该厂附近建一职工宿舍,并对宿舍进行防辐射处理,建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关.若建造宿舍的所有费用(万元)和宿舍与工厂的距离的关系为:
.为了交通方便,工厂与宿舍之间还要修一条简易便道,已知修路每公里成本为万元,工厂一次性补贴职工交通费万元.设为建造宿舍、修路费用与给职工的补贴之和.
⑴求的表达式;
⑵宿舍应建在离工厂多远处,可使总费用最小,并求最小值.
19.(本题满分16分)
已知椭圆的离心率为,左顶点为,过原点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点,其中点在第二象限,过点作轴的垂线交于点.
⑴求椭圆的标准方程;
⑵当直线的斜率为时,求的面积;
⑶试比较与大小.
20.(本题满分16分)
已知函数的最小值为.
⑴设,求证:
在上单调递增;
⑵求证:
;
⑶求函数的最小值.
2017~2018学年度第一学期期末考试
高二数学(文科)参考答案
一、填空题
1.若,则;2.;3.;4.;5.;
6.;7.;8.;9.; 10.;
11.;12.;13.14.
二、解答题
15.解:
⑴
⑵∵
∴
∵为实数
∴∴
∴∴
16.解:
⑴∵,
∴,解得
⑵∵方程表示双曲线
∴,解得
∵为假命题,且为真命题
∴
∴
17.证明:
⑴
∵∴
∴
⑵假设都小于,即
则有①
而②
①与②矛盾
故至少有一个不小于.
18.解:
⑴
整理得,
⑵
由得
所以在上单调递减,在上单调递增
故当时,取得最小值
答:
⑴
⑵宿舍应建在离工厂处,可使总费用最小,最小值为万元.
19.解:
⑴因为左顶点为,所以
因为椭圆的离心率为,所以,解得
又因为,所以
故所求椭圆的标准方程为
⑵因为直线过原点,且斜率为
所以直线的方程为
代入椭圆方程解得
因为,所以直线的方程为
从而有
故的面积等于
⑶方法一:
设直线的方程为,
代入椭圆方程得
设,则有,解得
从而
由椭圆对称性可得
所以
于是
故
从而
所以
因为点在第二象限,所以,于是有
方法二:
设点,则点
因为,所以直线的方程为
所以
从而
从而有
20.解:
⑴
∵
∴在上单调递增
⑵由⑴可知在上单调递增
∵
∴存在唯一的零点,设为,则且
当时,;当时,
从而在上单调递增,在上单调递减
所以的最小值
∵∴∴
∴(当且仅当时取等号)
∵∴
(第二问也可证明,从而得到)
⑶
同⑴方法可证得在上单调递增
∵
∴
∴存在唯一的零点,设为,则且
所以的最小值为
∵∴
∴,即
由⑵可知
∴=
∵在上单调递增
∴
所以的最小值为
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