法向量解立体几何专题训练.doc

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法向量解立体几何专题训练

一、运用法向量求空间角

1、向量法求空间两条异面直线a,b所成角θ，只要在两条异面直线a,b上各任取一个向量，则角<>=θ或π-θ，因为θ是锐角，所以cosθ=,不需要用法向量。

2、设平面α的法向量为=（x,y,1），则直线AB和平面α所成的角θ的正弦值为sinθ=cos（-θ）=|cos<,>|=

3、设二面角的两个面的法向量为，则<>或π-<>是所求角。

这时要借助图形来判断所求角为锐角还是钝角，来决定<>是所求，还是π-<>是所求角。

二、运用法向量求空间距离

1、求两条异面直线间的距离

设异面直线a、b的公共法向量为，在a、b上任取一点A、B，则异面直线a、b的距离d=AB·cos∠BAA＇=

2、求点到面的距离

求A点到平面α的距离，设平面α的法向量法为，在α内任取一点B，则A点到平面α的距离为d=，的坐标由与平面α内的两个不共线向量的垂直关系，得到方程组（类似于前面所述,若方程组无解，则法向量与XOY平面平行，此时可改设

三、证明线面、面面的平行、垂直关系

设平面外的直线a和平面α、β，两个面α、β的法向量为，则

四、应用举例：

例1：

如右下图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB=4,AD=3,AA1=2.E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=FB=1.

（1）求二面角C—DE—C1的正切值;

（2）求直线EC1与FD1所成的余弦值.

解：

（I）以A为原点，分别为x轴，y轴,z轴的正向建立空间直角坐标系，

则D（0,3,0）、D1（0,3,2）、E（3,0,0）、F（4,1,0）、C1（4,3,2）

于是，

设法向量与平面C1DE垂直，则有

（II）设EC1与FD1所成角为β，则

例2：

（高考辽宁卷17）如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=600，PD⊥平面ABCD，PD=AD，点E为AB中点，点F为PD中点。

（1）证明平面PED⊥平面PAB；

（2）求二面角P-AB-F的平面角的余弦值

证明：

（1）∵面ABCD是菱形，∠DAB=600，

∴△ABD是等边三角形，又E是AB中点，连结BD

∴∠EDB=300，∠BDC=600，∴∠EDC=900，

如图建立坐标系D-ECP，设AD=AB=1，则PF=FD=，ED=，

∴P（0，0，1），E（，0，0），B（，，0）

∴=（，，-1），=（，0，-1），

平面PED的一个法向量为=（0，1，0），设平面PAB的法向量为=（x,y,1）

由

∴=（,0,1）∵·=0即⊥∴平面PED⊥平面PAB

（2）解：

由

（1）知：

平面PAB的法向量为=（,0,1）,设平面FAB的法向量为1=（x,y,-1），

由

（1）知：

F（0，0，），=（，，-），=（，0，-），

由

∴1=（-,0,-1）

∴二面角P-AB-F的平面角的余弦值cosθ=|cos<,1>|=

例3：

在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1=4CP.

（Ⅰ）求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（Ⅱ）设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：

D1H⊥AP；

（Ⅲ）求点P到平面ABD1的距离.

解:

（Ⅰ）如图建立坐标系D-ACD1,∵棱长为4∴A（4，0，0），B（4，4，0），P（0，4，1）

∴=（-4,4,1）,显然=（0，4，0）为平面BCC1B1的一个法向量，

∴直线AP与平面BCC1B1所成的角θ的正弦值sinθ=|cos<,>|=

∵θ为锐角，∴直线AP与平面BCC1B1所成的角θ为arcsin

（Ⅲ）设平面ABD1的法向量为=（x,y,1），

∵=（0，4，0），=（-4，0，4）

由⊥，⊥得∴=（1,0,1），

∴点P到平面ABD1的距离d=

例4：

在长、宽、高分别为2，2，3的长方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面中心，求A1O与B1C的距离。

解：

如图，建立坐标系D-ACD1，则O（1，1，0），A1（2，2，3），C（0，2，0）

∴

设A1O与B1C的公共法向量为，则

∴

∴A1O与B1C的距离为

d=

例5：

在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1、C1D1的中点，求A1到面BDFE的距离。

解：

如图，建立坐标系D-ACD1，则B（1，1，0），A1（1，0，1），E（，1，1）

∴

设面BDFE的法向量为，则

∴

∴A1到面BDFE的距离为d=

新课标高二数学空间向量与立体几何测试题1

一、选择题

1．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为（）

图

A．60° B．90° C．105° D．75°

2．如图，ABCD—A1B1C1D1是正方体，B1E1＝D1F1＝，则BE1与DF1所成角的余弦值是（）

A． B．

图

C． D．

3．如图，A1B1C1—ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）

A． B．

C． D．

4．正四棱锥的高，底边长，则异面直线和之间的距离（）

A． B． C． D．

A

A1

D

C

B

B1

C1

图

5．已知是各条棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点．点到平面的距离（）

A．B．C．D．

6．在棱长为的正方体中，则平面与平面间的距离 （）

A． B． C． D．

7．在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值 （）

A． B． C． D．

8．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D，E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G．则与平面ABD所成角的余弦值 （）

A． B． C． D．

9．正三棱柱的底面边长为3，侧棱，D是CB延长线上一点，且，则二面角的大小（）

A． B．C． D．

10．正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，CD的中点，．则三棱锥的体积V （）

A． B．C． D．

二、填空题

11．在正方体中，为的中点，则异面直线和间的距离．

12．在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，求点到截面的距离．

13．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1的中点，点A1到平面DBEF的距离．

14．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值．

三、解答题

15．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，求平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角的大小

16．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、M分别是A1C1、A1D和B1A上任一点，求证：

平面A1EF∥平面B1MC．

17．在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角．

（1）若AE⊥PD，E为垂足，求证：

BE⊥PD；

（2）求异面直线AE与CD所成角的余弦值．

18．已知棱长为1的正方体AC1，E、F分别是B1C1、C1D的中点．

（1）求证：

E、F、D、B共面；

（2）求点A1到平面的BDEF的距离；

（3）求直线A1D与平面BDEF所成的角．

19．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AB的中点，求：

（Ⅰ）D1E与平面BC1D所成角的大小；

（Ⅱ）二面角D－BC1－C的大小；

（Ⅲ）异面直线B1D1与BC1之间的距离．

高二数学空间向量与立体几何专题训练2

一、选择题

1．向量a＝（2x,1,3），b＝（1，－2y,9），若a与b共线，则（　　）

A．x＝1，y＝1　　　　　 B．x＝，y＝－

C．x＝，y＝－ D．x＝－，y＝

2．已知a＝（－3,2,5），b＝（1，x，－1），且a·b＝2，则x的值是（　　）

A．6B．5C．4D．3

3．设l1的方向向量为a＝（1,2，－2），l2的方向向量为b＝（－2,3，m），若l1⊥l2，则实数m的值为（　　）

A．3B．2C．1D.

4．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的（　　）

A．必要不充分条件B．充分不必要条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

5．在△ABC中，＝c，＝b.若点D满足＝2，则＝（　　）

A.b＋cB.c－bC.b－cD.b＋c

6．已知a，b，c是空间的一个基底，设p＝a＋b，q＝a－b，则下列向量中可以与p，q一起构成空间的另一个基底的是（　　）

A．aB．bC．cD．以上都不对

7．已知△ABC的三个顶点A（3,3,2），B（4，－3,7），C（0,5,1），则BC边上的中线长为（　　）

A．2B．3C.D.

8．与向量a＝（2,3,6）共线的单位向量是（　　）

A．（，，）B．（－，－，－）

C．（，－，－）和（－，，）D．（，，）和（－，－，－）

9．已知向量a＝（2,4，x），b＝（2，y,2），若|a|＝6且a⊥b，则x＋y为（　　）

A．－3或1B．3或－1C．－3D．1

10．已知a＝（x,2,0），b＝（3,2－x，x2），且a与b的夹角为钝角，则实数x的取值范围是（　　）

A．x>4B．x<－4C．0

11．已知空间四个点A（1,1,1），B（－4,0,2），C（－3，－1，0），D（－1,0,4），则直线AD与平面ABC所成的角为（　　）

A．30°B．45°C．60°D．90°

12．已知二面角α－l－β的大小为50°，P为空间中任意一点，则过点P且与平面α和平面β所成的角都是25°的直线的条数为（　　）

A．2B．3C．4D．5

二、填空题

13．已知{i，j，k}为单位正交基底，且a＝－i＋j＋3k，b＝2i－3j－2k，则向量a＋b与向量a－2b的坐标分别是________；________.

14．在△ABC中，已知＝（2,4,0），＝（－1,3,0），则∠ABC＝________.

15．正方体ABCD－A1B1C1D1中，面ABD1与面B1BD1所夹角的大小为________．

16．在下列命题中：

①若a，b共线，则a，b所在的直线平行；②若a，b所在的直线是