江苏省高考数学试题.doc

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2002年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，共60分。

（1）函数的最小正周期是（）。

A.B.C.D.

（2）圆的圆心到直线的距离是（）。

A.B.C.1D.

（3）不等式的解集是（）

A.B.C.D.

（4）在内，使成立的x取值范围为（）

A.B.C.D.

（5）设集合，则（）

A.B.C.D.

（6）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么，这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（）。

A.B.C.D.

（7）函数是奇函数的充要条件是（）

A.ab=0B.a+b=0C.a=bD.

（8）已知，则有（）。

A.B.C.D.

（9）函数

A.在（）内单调递增B.在（）内单调递减

C.在（）内单调递增D.在（）内单调递减

（10）极坐标方程与的图形是（）。

（11）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（）。

A.8种B.12种C.16种D.20种

（12）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：

“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%，”如果“”期间（2001年—2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“”末，我国国内生产总值约为（）。

A.115000亿元B.120000亿元C.127000亿元D.135000亿元

二.填空题：

本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。

（13）椭圆的一个焦点是（0，2），那么k=。

（14）的展开式中项的系数是。

（15）已知，则。

（16）已知函数那=。

三.解答题：

本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）已知复数，求实数a,b使

（18）（本小题满分12分）设为等差数列，为等比数列，

，分别求出及的前10项的和及。

（19）（本小题满分12分）四棱锥的底面是边长为a的正方形，PB面ABCD

（I）若面PAD与面ABCD所成的二面角为，求这个四棱锥的体积；

（II）证明无论四棱锥的高怎样变化，面与面所成的二面角恒大于。

（20）（本题满分12分）

设A、B是双曲线上的两点，点N（1，2）是线段AB的中点。

（I）求直线AB的方程。

（II）如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？

为什么？

（21）（本小题满分12分，附加题满分4分）

（I）给出两块面积相同的正三角形纸片（如图1，图2）,要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明。

（II）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。

（III）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分。

）如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明。

（22）（本小题满分14分）已知，函数；

（I）当b>0时，若对任意都有，证明；

（II）当b>1时，证明：

对任意，的充要条件是；

（III）当时，讨论：

对任意，的充要条件。

2002年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学参考答案

说明：

一.本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。

二.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

三.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

四.只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。

一.选择题:

本题考查基本知识和基本运算,每小题5分,满分60分。

（1）C

（2）A（3）D（4）C（5）B（6）C（7）D（8）D（9）C（10）B（11）B（12）C

二.填空题：

本题考查基本知识和基本运算。

每小题4分，满分16分。

（13）1（14）1008（15）（16）

三.解答题

（17）本小题主要考查复数的基础知识和基本运算技能。

满分12分。

解：

因为

因为都是实数，所以由得两式相加，整理得解得：

对应得

所以，所求实数为，或

（18）本小题主要考查等差数列，等比数列基础知识，以及运算能力和推理能力满分12分。

解：

因为为等差数列，为等比数列。

已知得：

因为

由知的公差为

由知的公比为

当时，

当时，

（19）本小题考查线面关系和二面角的概念，以及空间想象能力和逻辑推理能力满分12分。

（I）解：

因为面ABCD。

所以BA是PA在面ABCD上的射影

又，所以

PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角

而PB是四棱锥的高，PB=AB

（II）证：

不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面与恒为全等三角形。

作，垂足为E，连结EC，则

故是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角

设AC与DB相交于点O，连结EO，则

在三角形AEC中，

所以，面与面PCD所成的二面角恒大于90度。

（20）本小题主要考查直线、圆、双曲线和坐标法等基本知识，以及逻辑推理能力、运算能力和分析解决问题的能力。

满分12分。

解：

（I）依题意，可设直线AB的方程为

代入，整理得

（1）

记，，则是方程

（1）的两个不同的根

所以，且

由N（1，2）是AB的中点得：

解得k=1，所以直线AB的方程为

（II）将k=1代入方程

（1）得解出

由得即A、B的坐标分别为（-1，0）和（3，4）

由CD垂直平分AB，得直线CD的方程为即

代入双曲线方程，整理得：

（2）

记，D，以及CD的中点为M（）

则是方程

（2）的两个根，所以

从而，

又

即A、B、C、D四点到点M的距离相等，所以A、B、C、D四点共圆。

（21）本小题主要考查空间想象能力、动手操作能力、探究能力和灵活运用所学知识解决现实问题的能力，满分12分，附加题4分。

解：

（I）如图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥。

如图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的，有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成为一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底。

（II）依上面剪拼的方法，有

推理如下：

设给出正三角形纸片的边长为2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形，其面积为，现在计算它们的高：

所以

（III）（附加题，满分4分）

如图3，分别连结三角形的内心与各顶点，得到三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形，以新作的三角形为直三棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可以拼接成直三棱柱的上底、余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱模型。

注：

考生如有其他的剪拼方法，可比照本标准评分。

（22）本小题主要考查二次函数、不等式等基础知识，以及逻辑推理能力、运算能力和灵活、综合应用数学知识解决问题的能力。

满分14分。

（I）证：

依设，对任意，都有

因为因为

（II）证：

必要性：

对任意，据此可以推出即

对任意

因为b>1，可以推出即

充分性：

因为，对任意，可以推出：

即

因为，对任意，可以推出

即

综上，当b>1时，对任意，的充要条件是

（III）解：

因为时，对任意：

，即；

即

，即

所以，当时，对任意，的充要条件是

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