江苏省南京市2016-2017学年高二上学期期末考试数学(文)试题.doc
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南京市2016－2017学年度第一学期期末检测卷
高二数学（文科）2017.01
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．
一、填空题：
本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上
1．命题“若a＝b，则|a|＝|b|”的逆否命题是▲．
2．双曲线x2－＝1的渐近线方程是▲．
3．已知复数为纯虚数，其中i是虚数单位，则实数a的值是▲．
4．在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）到直线3x－4y＋a＝0的距离为1，则实数a的值是
▲．
5．曲线y＝x4与直线y＝4x＋b相切，则实数b的值是▲．
6．已知实数x，y满足条件则z＝2x＋y的最大值是▲．
7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C:
y2＝4x的焦点为F，P为抛物线C上一点，且PF＝5，则点P的横坐标是▲．
8．在平面直角坐标系xOy中，圆O:
x2＋y2＝r2（r＞0）与圆M:
（x－3）2＋（y＋4）2＝4相交，则r的取值范围是▲．
9．观察下列等式：
（sin）－2＋（sin）－2＝×1×2；
（sin）－2＋（sin）－2＋（sin）－2＋（sin）－2＝×2×3；
（sin）－2＋（sin）－2＋（sin）－2＋…＋（sin）－2＝×3×4；
（sin）－2＋（sin）－2＋（sin）－2＋…＋（sin）－2＝×4×5；
……
依此规律，
当n∈N*时，（sin）－2＋（sin）－2＋（sin）－2＋…＋（sin）－2＝▲．
10．若“x∈R，x2＋ax＋a＝0”是真命题，则实数a的取值范围是▲．
11．已知函数f（x）＝（x2＋x＋m）ex（其中m∈R，e为自然对数的底数）．若在x＝－3处函数f（x）有极大值，则函数f（x）的极小值是▲．
12．有下列命题：
①“m＞0”是“方程x2＋my2＝1表示椭圆”的充要条件；
②“a＝1”是“直线l1:
ax＋y－1＝0与直线l2:
x＋ay－2＝0平行”的充分不必要条件；
③“函数f（x）＝x3＋mx单调递增”是“m＞0”的充要条件；
④已知p，q是两个不等价命题，则“p或q是真命题”是“p且q是真命题”的必要不充分条件．
其中所有真命题的序号是▲．
13．已知椭圆E：
＋＝1（a＞b＞0）的焦距为2c（c＞0），左焦点为F，点M的坐标为（－2c，0）．若椭圆E上存在点P，使得PM＝PF，则椭圆E离心率的取值范围是▲．
14．已知t＞0，函数f（x）＝若函数g（x）＝f（f（x）－1）恰有6个不同的零点，则实数t的取值范围是▲．
二、解答题：
本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC三个顶点坐标为A（7，8），B（10，4），C（2，－4）．
（1）求BC边上的中线所在直线的方程；
（2）求BC边上的高所在直线的方程．
16．（本题满分14分）
已知复数z1＝m－2i，复数z2＝1－ni，其中i是虚数单位，m，n为实数．
（1）若m＝1，n＝－1，求|z1＋z2|的值；
（2）若z1＝（z2）2，求m，n的值．
17．（本题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y＝－2x上，且圆M与直线
x＋y－1＝0相切于点P（2，－1）．
（1）求圆M的方程；
（2）过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程．
18．（本题满分16分）
某休闲广场中央有一个半径为1（百米）的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形（梯形ABCF和梯形DEFC）构成的六边形ABCDEF区域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上，CF为圆的直径（如图）．设
∠AOF＝θ，其中O为圆心．
（1）把六边形ABCDEF的面积表示成关于θ的函数f（θ）；
（2）当θ为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？
并求最大面积．
A
B
C
F
D
E
（第18题图）
O
θ
19．（本题满分16分）
在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：
＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，两个顶点分别为A（－a，0），B（a，0），点M（－1，0），且3＝，过点M斜率为k（k≠0）的直线交椭圆E于C，D两点，且点C在x轴上方．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若BC⊥CD，求k的值；
（3）记直线BC，BD的斜率分别为k1，k2，求证：
k1k2为定值．
x
A
B
y
C
M
O
（第19题图）
D
20．（本题满分16分）
已知函数f（x）＝ax－lnx（a∈R）．
（1）当a＝1时，求f（x）的最小值；
（2）已知e为自然对数的底数，存在x∈[，e]，使得f（x）＝1成立，求a的取值范围；
（3）若对任意的x∈[1，＋∞），有f（x）≥f（）成立，求a的取值范围．
南京市2016－2017学年度第一学期期末检测卷
高二数学（文科）参考答案及评分标准2017．01
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1．若|a|≠|b|，则a≠b2．y＝±2x3．24．±55．－36．97．4
8．（3，7）9．10．（－∞，0]∪[4，＋∞）11．－112．②④
13．[，]14．（3，4）
二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本题满分14分）
解：
（1）由B（10，4），C（2，－4），得BC中点D的坐标为（6，0），………………2分
所以AD的斜率为k＝＝8，………………5分
所以BC边上的中线AD所在直线的方程为y－0＝8（x－6），
即8x－y－48＝0．………………7分
（2）由B（10，4），C（2，－4），得BC所在直线的斜率为k＝＝1，……9分
所以BC边上的高所在直线的斜率为－1，…………………12分
所以BC边上的高所在直线的方程为y－8＝－（x－7），
即x＋y－15＝0．…………………………14分
16．（本题满分14分）
解：
（1）当m＝1，n＝－1时，z1＝1－2i，z2＝1＋i，
所以z1＋z2＝（1－2i）＋（1＋i）＝2－i，………………4分
所以|z1＋z2|＝＝．………………6分
（2）若z1＝（z2）2，则m－2i＝（1－ni）2，
所以m－2i＝（1－n2）－2ni，……………10分
所以………………12分
解得………………14分
17．（本题满分14分）
解：
（1）过点（2，－1）且与直线x＋y－1＝0垂直的直线方程为x－y－3＝0，……2分
由解得
所以圆心M的坐标为（1，－2），………………4分
所以圆M的半径为r＝＝，………………6分
所以圆M的方程为（x－1）2＋（y＋2）2＝2．………………7分
（2）因为直线l被圆M截得的弦长为，
所以圆心M到直线l的距离为d＝＝，……………9分
若直线l的斜率不存在，则l为x＝0，此时，圆心M到l的距离为1，则弦长为2，不符合题意．
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx，即kx－y＝0，
由d＝＝，………………11分
整理得k2＋8k＋7＝0，
解得k＝－1或－7，………………13分
所以直线l的方程为x＋y＝0或7x＋y＝0．………………14分
18．（本题满分16分）
解：
（1）作AH⊥CF于H，
则OH＝cosθ，AB＝2OH＝2cosθ，AH＝sinθ，……………2分
则六边形的面积为f（θ）＝2×（AB＋CF）×AH＝（2cosθ＋2）sinθ
＝2（cosθ＋1）sinθ，θ∈（0，）．………………6分
（2）f′（θ）＝2[－sinθsinθ＋（cosθ＋1）cosθ]
＝2（2cos2θ＋cosθ－1）＝2（2cosθ－1）（cosθ＋1）．………………10分
令f′（θ）＝0，因为θ∈（0，），
所以cosθ＝，即θ＝，……………………12分
当θ∈（0，）时，f′（θ）＞0，所以f（θ）在（0，）上单调递增；
当θ∈（，）时，f′（θ）＜0，所以f（θ）在（，）上单调递减，…………14分
所以当θ＝时，f（θ）取最大值f（）＝2（cos＋1）sin＝．…………15分
答：
当θ＝时，可使得六边形区域面积达到最大，最大面积为平方百米．
…………………………16分
19．（本题满分16分）
解：
（1）因为3＝，
所以3（－1＋a，0）＝（a＋1，0），解得a＝2．………………2分
又因为＝，所以c＝，所以b2＝a2－c2＝1，
所以椭圆E的方程为＋y2＝1．……
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