江苏省南京市2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题.doc
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南京市2015－2016学年度第一学期高一数学期末试卷
一、填空题：
本大题共14小题，每小题3分，共42分．
1．函数f（x）＝的定义域是▲．
2．集合{0，1}的子集的个数为▲．
3．求值：
log345－log35＝▲．
4．已知角a的终边经过点P（2，－1），则sina的值为▲．
5．已知扇形的半径为3cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为▲cm2．
6．函数f（x）＝cos（x－），xÎ[0，]的值域是▲．
7．三个数a＝0.32，b＝log20.3，c＝20.3之间的大小关系是▲（用a，b，c表示，并用“＜”连结）．
A
B
C
D
E
F
（第9题）
8．将函数y＝sin2x的图象向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式是▲．
9．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，AD＝2，
且＝，＝，则·＝▲．
10．已知函数f（x）＝－log2x的零点为x0，若x0Î（k，k＋1），其中k为整数，则k＝▲．
11．已知函数f（x）＝其中e为自然对数的底数，则f[f（）]＝▲．
12．已知定义在实数集R上的偶函数f（x）在区间[0，＋¥）上是单调增函数，且f（lgx）＜f
（1），则x的取值范围是▲．
13．若函数f（x）＝m·4x－3×2x＋1－2的图象与x轴有交点，则实数m的取值范围是▲．
14．若函数f（x）＝sin（ωx＋）（ω＞0））在区间[0，2p]上取得最大值1和最小值－1的x的值均唯一，则ω的取值范围是▲．
二、解答题：
本大题共6小题，共58分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分8分）已知sinx＝，其中0≤x≤．
（1）求cosx的值；
（2）求的值．
16．（本小题满分10分）已知向量a＝（2，－1），b＝（3，－2），c＝（3，4）．
（1）求a·（b＋c）；
（2）若（a＋lb）∥c，求实数l的值．
17．（本小题满分10分）经市场调查，某商品在过去20天的日销售量和日销售价格均为销售时间t（天）的函数，日销售量（单位：
件）近似地满足：
f（t）＝－t＋30（1≤t≤20，tÎN*），日销售价格（单位：
元）近似地满足：
g（t）＝
（1）写出该商品的日销售额S关于时间t的函数关系；
（2）当t等于多少时，日销售额S最大？
并求出最大值．
18．（本小题满分10分）已知函数f（x）＝Asin（wx＋j）（A＞0，w＞0，0＜j＜2p）的部分图象如图所示，
y
x
O
–2
（第18题）
●
●
且f（0）＝f（）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的解析式，并写出它的单调增区间．
19．（本小题满分10分）
已知|a|＝，|b|＝，a·b＝－5，c＝xa＋（1－x）b．
（1）当b^c时，求实数x的值；
（2）当|c|取最小值时，求向量a与c的夹角的余弦值．
20．（本小题满分10分）对于定义在[0，＋¥）上的函数f（x），若函数y=f（x）－（ax＋b）满足：
①在区间[0，＋¥）上单调递减；②存在常数p，使其值域为（0，p]，则称函数g（x）＝ax＋b为f（x）的“渐近函数”．
（1）证明：
函数g（x）＝x＋1是函数f（x）＝，xÎ[0，＋¥）的渐近函数，并求此时实数p的值；
（2）若函数f（x）＝，xÎ[0，＋¥）的渐近函数是g（x）＝ax，求实数a的值，并说明理由．
参考答案
一、填空题：
本大题共14小题，每小题3分，共42分．
1．（3，＋¥）2．43．24．－5．96．[，1]7．b＜a＜c8．y＝sin（2x－）9．－410．211．12．（，10）
13．（0，＋¥）14．[，）
二、解答题：
本大题共6小题，共58分．
15．解
（1）因为sin2x＋cos2x＝1，所以cos2x＝1－sin2x＝1－（）2＝．……2分
又因为0≤x≤，故cosx≥≤0，所以cosx＝．…………4分
（2）原式＝＝……7分＝＝．…………8分
16．解
（1）因为b＋c＝（3，－2）＋（3，4）＝（6，2），………………………2分
所以a·（b＋c）＝（2，－1）·（6，2）＝12－2＝10．………………………5分
（2）因为a＋lb＝（2，－1）＋（3l，－2l）＝（2＋3l，－1－2l），
又（a＋lb）//c，所以4（2＋3l）＝3（－1－2l），…8分解得l＝－．…10分
17．解
（1）由题意知，S＝f（t）·g（t）
＝…………4分
（2）当1≤t≤10，tÎN*时，
S＝（2t＋40）（－t＋30）＝－2t2＋20t＋1200＝－2（t－5）2＋1250．
因此，当t＝5时，S最大值为1250；………………………7分
当11≤t≤20，tÎN*时，
S＝15（－t＋30）＝－15t＋450为减函数，
因此，当t＝11时，S最大值为285．………………………9分
综上，S的最大值为1250．
答：
当t＝5时，日销售额S最大，最大值为1250元．……………10分
18．解
（1）由题意知，函数图象的一条对称轴为x＝＝，…………2分
则＝－＝，即T＝p．所以函数的最小正周期是π．……………4分
（2）由图可知，A＝2，因为T＝p，所以w＝＝2．………………………6分
又f（）＝－2，所以2sin（＋j）＝－2，即sin（＋j）＝－1，
因此＋j＝2kp－，即j＝2kp－，k∈Z．
因为0＜j＜2p，所以j＝．所以函数的解析式为f（x）＝2sin（2x＋）．…8分
由2kp－≤2x＋≤2kp＋，k∈Z，解得kp－≤x≤kp－，k∈Z，
所以函数的单调增区间为[kp－，kp－]，k∈Z．………………10分
19．解
（1）b·c＝b·[xa＋（1－x）b]＝xb·a＋（1－x）b2
＝x×（－5）＋（1－x）×5＝0，解得x＝．………………4分
（2）|c|2＝[xa＋（1－x）b]2＝x2a2＋2x（1－x）a·b＋（1－x）2b2
＝10x2－10x（1－x）＋5（x－1）2
＝25x2－20x＋5＝25（x－）2＋1．
所以，当x＝时，|c|2有最小值1，即|c|有最小值1．……………7分
此时，c＝a＋b．
又a·c＝a·（a＋b）＝a2＋a·b＝×10＋×（－5）＝1．
设向量a，c的夹角为q，
则cosq＝＝＝．………………………10分
20．解
（1）由题意知，f（x）－x－1＝－x－1＝＝．
易知，函数y＝在[0，＋¥）上单调递减，且值域为（0，2]．
所以，函数g（x）＝x＋1是函数f（x）＝，xÎ[0，＋¥）的渐近函数，
此时p＝2．………………………3分
（2）①当a＞1时，考察函数y＝－ax，
令y＝0，得＝ax，两边平方得x2＋1＝a2x2，所以x2＝，
因为x≥0，所以x＝，即x＝时，函数y＝－ax的值为0．
因此，函数y＝－ax的值域不是（0，p]．
所以g（x）＝ax不是函数f（x）＝的渐近函数．…………………5分
②当a＝1时，考察函数y＝－x，
由于－x＝，下面考察t＝＋x．
任取x1，x2Î[0，＋¥），且x1＜x2，
则t1－t2＝＋x1－－x2
＝－＋x1－x2＝＋x1－x2
＝（x1－x2）（＋1）＜0，
所以函数t＝＋x在[0，＋¥）上单调递增，
又当x无限增大时，t的值也无限增大，所以t的取值范围是[1，＋¥）．
因为函数y＝在（0，＋¥）单调递减，
从而函数y＝－x在[0，＋¥）单调递减，且值域为（0，1]．
所以g（x）＝x是f（x）＝的渐近函数．…………………8分
③当0＜a＜1时，
方法
（一）y＝－ax＝（－x）＋（1－a）x
因为－xÎ（0，1]，所以y＞（1－a）x．
假设y＝ax是f（x）＝的渐近函数，
则y＝－ax的值域为（0，p]，故y的最大值为p．
设（1－a）x＝p，则x＝，当x＞时，必有y＞p，矛盾．
所以，此时g（x）＝ax不是函数f（x）的渐近函数．………………………9分
方法
（二）记F（x）＝－ax，则F（0）＝1，
由－ax＝1，即＝ax＋1，解得x＝＞0，即F（0）＝F（），
所以函数y＝－ax在[0，＋¥）上不单调，
所以g（x）＝ax不是函数f（x）的渐近函数．………………………9分
④若a≤0，则函数y＝－ax在[0，＋¥）上单调递增，不合题意．
综上可知，当且仅当a＝1时，g（x）＝x是函数f（x）＝的渐近函数．
……………10分
8
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