椭圆知识点总结.doc

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椭圆知识点

知识点一：

椭圆的定义

平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数,这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.

　注意：

若，则动点的轨迹为线段；

　　　　若，则动点的轨迹无图形.

知识点二：

椭圆的简单几何性质

　　椭圆：

与的简单几何性质

标准方程

图形

性质

焦点

，

，

焦距

范围

，

，

对称性

关于轴、轴和原点对称

顶点

，

，

轴长

长轴长=，短轴长=长半轴长=，短半轴长=（注意看清题目）

离心率

；；；

（p是椭圆上一点）（不等式告诉我们椭圆上一点到焦点距离的范围）

注意：

①与坐标系无关的椭圆本身固有的性质，如：

长轴长、短轴长、焦距、离心率等；②与坐标系有关的性质，如：

顶点坐标、焦点坐标等

知识点三：

椭圆相关计算

1．椭圆标准方程中的三个量的几何意义　

2.通径:

过焦点且垂直于长轴的弦,其长

焦点弦：

椭圆过焦点的弦。

3.最大角:

p是椭圆上一点，当p是椭圆的短轴端点时，为最大角。

4.椭圆上一点和两个焦点构成的三角形称为焦点三角形。

焦点三角形的面积，其中（注意公式的推导）

5.求椭圆标准方程的步骤（待定系数法）．

（1）作判断：

依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上．

（2）设方程：

①依据上述判断设方程为=1或=1

②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0且m≠n）．

（3）找关系，根据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组．

（4）解方程组，代入所设方程即为所求．

6.点与椭圆的位置关系:

<1,点在椭圆内；=1，点在椭圆上；>1,点在椭圆外。

7.直线与椭圆的位置关系

设直线方程y＝kx＋m，若直线与椭圆方程联立，消去y得关于x的一元二次方程：

ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．

（1）Δ＞0，直线与椭圆有两个公共点；

（2）Δ＝0，直线与椭圆有一个公共点；

（3）Δ＜0，直线与椭圆无公共点．

8.弦长公式：

（注意推导和理解）

若直线与圆锥曲线相交与、两点，则弦长

=

9.点差法：

就是在求解圆锥曲线题目中，交代直线与圆锥曲线相交所截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。

求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。

涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．

步骤:

①设直线和圆锥曲线交点为  ，  ，其中点坐标为  ，则得到关系式：

 ，  ．.

②把  ，  分别代入圆锥曲线的解析式，并作差，利用平方差公式对结果进行因式分解．其结果为

③利用  求出直线斜率,代入点斜式得直线方程为 .

中点弦的重要结论（不要死记会推导）

10．参数方程（为参数）几何意义：

离心角

11、椭圆切线的求法

1）切点（）已知时，切线

切线

2）切线斜率k已知时，切线

切线

12、焦半径：

椭圆上点到焦点的距离

（加减由长短决定）

（加减由长短决定）

13．离心率的求法

椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围）有两种方

14.焦点三角形的周长和面积的求法

利用定义求焦点三角形的周长和面积，解焦点三角形常利用椭圆的定义和正弦正理，常

15.椭圆的范围或最值问题

知识点四：

椭圆了解知识

1、椭圆面积：

2、椭圆的第二定义：

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