极坐标和参数方程知识点典型例题讲解同步训练.doc

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极坐标和参数方程知识点+典型例题讲解+同步训练

知识点回顾

（一）曲线的参数方程的定义：

在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即　　

并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数．

（二）常见曲线的参数方程如下：

1．过定点（x0，y0），倾角为α的直线：

　　（t为参数）

其中参数t是以定点P（x0，y0）为起点，对应于t点M（x，y）为终点的有向线段PM的数量，又称为点P与点M间的有向距离．

根据t的几何意义，有以下结论．

．设A、B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA和tB，则＝＝．

．线段AB的中点所对应的参数值等于．

2．中心在（x0，y0），半径等于r的圆：

　　（为参数）

3．中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的椭圆：

　　　　（为参数）　　（或　）

中心在点（x0,y0）焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程

4．中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的双曲线：

　　　　（为参数）　　（或　）

5．顶点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线：

　　（t为参数，p＞0）

直线的参数方程和参数的几何意义

过定点P（x0，y0），倾斜角为的直线的参数方程是　　（t为参数）．

（三）极坐标系

1、定义：

在平面内取一个定点O，叫做极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。

对于平面内的任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对（ρ,θ）就叫做点M的极坐标。

这样建立的坐标系叫做极坐标系。

2、极坐标有四个要素：

①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数、对应惟一点P（，），但平面内任一个点P的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P（，）（极点除外）的全部坐标为（,＋）或（，＋），（Z）．极点的极径为0，而极角任意取．若对、的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定>0，0≤＜或<0，＜≤等．

极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的．

3、极坐标与直角坐标互化公式：

典型例题讲解

极坐标

考点一极坐标与直角坐标的互化

1.点P的直角坐标为（－，），那么它的极坐标可表示为________．

答案：

2.已知圆C：

，则圆心C的极坐标为_______

答案：

（）

3.把点的极坐标化为直角坐标。

4.曲线的极坐标方程ρ=４sinθ化成直角坐标方程为（）

A.x2+（y+2）2=4B.x2+（y-2）2=4

C.（x-2）2+y2=4D.（x+2）2+y2=4

解：

将ρ=，sinθ=代入ρ=4sinθ，得x2+y2=4y，即x2+（y-2）2=4.

∴应选B.

5.若曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．

解析　∵ρ＝2sinθ＋4cosθ，∴ρ2＝2ρsinθ＋4ρcosθ.

∴x2＋y2＝2y＋4x，即x2＋y2－2y－4x＝0.

6化极坐标方程为直角坐标方程为（）

A．B．C．D．

7.极坐标ρ=cos（）表示的曲线是（）

A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.圆

解：

原极坐标方程化为ρ=（cosθ+sinθ）=ρcosθ+ρsinθ，

∴普通方程为（x2+y2）=x+y，表示圆.应选D.

考点二直线的极坐标方程的应用

1.过点且与极轴垂直的直线方程为（）

A.B.C. D.

2.在极坐标系中，直线过点且与直线（）垂直，则直线极坐标方程为．

答案：

（或、）

3.设点A的极坐标为，直线l过点A且与极轴所成的角为，则直线l的极坐标方程为________________．

[审题视点]先求直角坐标系下的直线方程再转化极坐标方程．

【解析】∵点A的极坐标为，∴点A的平面直角坐标为（，1），又∵直线l过点A且与极轴所成的角为，∴直线l的方程为y－1＝（x－）tan，即x－y－2＝0，∴直线l的极坐标方程为ρcosθ－ρsinθ－2＝0，可整理为ρcos＝1或ρsin＝1或ρsin＝1.

答案　ρcos＝1或ρcosθ－ρsinθ－2＝0或ρsin＝1或ρsin＝1.

4.极点到直线的距离是_____________。

解析：

直线；点到直线的距离是

5.在极坐标系中，直线l的方程为ρsinθ＝3，则点到直线l的距离为________．

解析：

∵直线l的极坐标方程可化为y＝3，点化为直角坐标为（，1），

∴点到直线l的距离为2.

考点三圆的极坐标方程的应用

1.在极坐标系中，以为圆心，为半径的圆的极坐标方程是。

解析：

由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式得，又，所以.

2.在极坐标中，已知圆经过点，圆心为直线与极轴的交点，求圆的极坐标方程．

解析：

∵圆圆心为直线与极轴的交点，

∴在中令，得。

∴圆的圆心坐标为（1，0）。

∵圆经过点，∴圆的半径为。

∴圆经过极点。

∴圆的极坐标方程为。

3.在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离是

【解析】距离是圆的圆心

4.在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值。

解析：

，圆ρ=2cosθ的普通方程为：

，

直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为：

，

又圆与直线相切，所以解得：

，或。

5.在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线ρ＝2sinθ与ρcosθ＝－1的交点的极坐标为________．

解析　ρ＝2sinθ的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，ρcosθ＝－1的直角坐标方程为x＝－1，联立方程，得解得即两曲线的交点为（－1,1），又0≤θ＜2π，因此这两条曲线的交点的极坐标为.

6.已知曲线的极坐标方程分别为，，则曲线与交点的极坐标为．

解析：

联立解方程组解得,即两曲线的交点为。

7在极坐标系（）中，曲线与的交点的极坐标为_____

解析：

两式相除得，交点的极坐标为

8.在极坐标系中，若过点（1,0）且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cosθ于A、B两点，则|AB|＝________.

[审题视点]先将直线与曲线的极坐标方程化为普通方程，再利用圆的知识求|AB|.

【解析】注意到在极坐标系中，过点（1,0）且与极轴垂直的直线的直角坐标方程是x＝1，曲线ρ＝4cosθ的直角坐标方程是x2＋y2＝4x，即（x－2）2＋y2＝4，圆心（2,0）到直线x＝1的距离等于1，因此|AB|＝2＝2.

9.直线与圆相交的弦长为．

【解析】是过点且垂直于极轴的直线，是以为圆心，1为半径的圆，则弦长=.

10.在极坐标系中，直线ρsin＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．

解析　由ρsin＝2，得（ρsinθ＋ρcosθ）＝2可化为x＋y－2＝0.圆ρ＝4可化为x2＋y2＝16，由圆中的弦长公式得：

2＝2＝4.

参数方程知识点

1.参数方程的概念：

在平面直角坐标系中，若曲线C上的点满足，该方程叫曲线C的参数方程，变量t是参变数，简称参数。

（在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数并且对于的每一个允许值，由这个方程所确定的点都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数的变数叫做参变数，简称参数。

）

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

2．曲线的参数方程

（1）圆的参数方程可表示为.

（2）椭圆的参数方程可表示为.

（3）抛物线的参数方程可表示为.

（4）经过点，倾斜角为的直线的参数方程可表示为（为参数）.

3．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。

在参数方程与普通方程的互化中，必须使的取值范围保持一致.

规律方法指导：

1、把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法.常见的消参方法有：

代入消法；加减消参；平方和（差）消参法；乘法消参法；比值消参法；利用恒等式消参法；混合消参法等.

2、把曲线的普通方程化为参数方程的关键：

一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性，注意方程中的参数的变化范围。

考点一　参数方程与普通方程的互化

1.把下列参数方程化为普通方程：

（1）　

（2）

解析：

（1）由已知由三角恒等式cos2θ＋sin2θ＝1,

可知（x－3）2＋（y－2）2＝1，这就是它的普通方程．

（2）由已知t＝2x－2，代入y＝5＋t中，

得y＝5＋（2x－2），即x－y＋5－＝0就是它的普通方程．

2.已知直线经过点,倾斜角，写出直线的参数方程;

解析：

直线的参数方程为，即．

3.极坐标方程ρ＝cosθ和参数方程（t为参数）所表示的图形分别是（　　）．

A．直线、直线 B．直线、圆C．圆、圆 D．圆、直线

解析：

∵ρcosθ＝x，∴cosθ＝代入到ρ＝cosθ，得ρ＝，∴ρ2＝x，∴x2＋y2＝x表示圆．又∵相加得x＋y＝1，表示直线．答案　D

4.若直线（t为实数）与直线4x＋ky＝1垂直，则常数k＝________.

解析：

参数方程所表示的直线方程为3x＋2y＝7，由此直线与直线4x＋ky＝1垂直可得－×＝－1，解得k＝－6.

考点二　直线与圆的参数方程的应用

1.已知直线l的参数方程为：

（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，则直线l与圆C的位置关系为________．

解析：

将直线l的参数方程：

化为普通方程得，y＝1＋2x，圆ρ＝2sinθ的直角坐标方程为x2＋（y－）2＝2，圆心（0，）到直线y＝1＋2x的距离为，因为该距离小于圆的半径，所以直线l与圆C相交．

答案　相交

2.在平面直角坐标系中，以坐标原点为几点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

已知直线上两点的极坐标分别为，圆的参数方程为参数）。

（Ⅰ）设为线段的中点，求直线的平面直角坐标方程；

（Ⅱ）判断直线与圆的位置关系。

【解析】（Ⅰ）由题意知，因为是线段中点，则

因此直角坐标方程为：

（Ⅱ）因为直线上两点

∴垂直平分线方程为：

，圆心，半径.

故直线和圆相交.

3.已知曲线的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是参数），点是曲线上的动点，点是直线上的动点，求||的最小值．

解：

曲线的极坐标方程可化为,

其直角坐标方程为，即.

直线的方程为.所以，圆心到直线的距离

所以，的最小值为.

4.已知曲线的极坐标方程是，设直线的参数方程是（为参数）．（Ⅰ）将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与轴的交点是，曲线上一动点，求的最大值.

解析：

（1）曲线的极坐标方程可化为：

又.

所以，曲线的直角坐标方程为：

.

（2）将直线的参数方程化为直角坐标方程得：

令得即点的坐标为

又曲线为圆，圆的圆心坐标为，半径，则

∴

5.（坐标