新课预习讲义选修2-1第二章椭圆(2)椭圆的性质(教师版)doc.doc
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新课预习讲义
选修2－1：
第二章椭圆
（二）
§2.2.2椭圆的几何性质
●学习目标
1.掌握椭圆的简单几何性质
2.理解离心率对椭圆扁平程度的影响.
3.通过椭圆标准方程的求法，体会一元二次方程的根与系数的关系的应用．
4.掌握椭圆的离心率的求法及其范围的确定．
5.掌握点与椭圆、直线与椭圆的位置关系，并能利用椭圆的有关性质解决实际问题.
●学习重点：
1.椭圆的简单几何性质．（重点）
2.椭圆的方程和性质的应用及直线和椭圆的位置关系，相关的距离、弦长、中点等问题是考查的重点．
3.椭圆的第二定义，椭圆的焦点弦、焦半径及其相关问题.
●学习难点
1.本节常与几何图形、方程、不等式、平面向量等内容结合出题．
2.命题形式比较灵活，各种题型均有可能出现.，命题的形式多样化.
一、自学导航
●知识回顾：
复习1：
椭圆的定义是____________________________________________________，
复习2：
椭圆的标准方程是：
①焦点在x轴上时，___________________，焦点在y轴上时_______________；
、、间的关系是_________________
复习3：
椭圆上一点到左焦点的距离是，那么它到右焦点的距离是．
复习4：
方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是．
●预习教材：
第43页——第51页的内容。
●自主梳理：
1、椭圆的几何性质：
（1）范围；
（2）对称性；（3）顶点（长轴、短轴、焦距）；（4）离心率；
2、椭圆的第二定义及椭圆的准线方程（教材第51页）
●预习检测：
1．椭圆x2＋4y2＝1的离心率为（ ）
A. B. C. D.
解析：
将椭圆方程x2＋4y2＝1化为标准方程x2＋＝1，
则a2＝1，b2＝， 即a＝1，b＝， 所以c＝， 故离心率e＝＝.故选A.
2．椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是（4,0），（0,2），则此椭圆的方程是（ ）
A.＋＝1或＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：
由已知a＝4，b＝2，椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆方程是＋＝1.故选C.
3．已知点（2,3）在椭圆＋＝1上，则下列说法正确的是（ ）
A．点（－2,3）在椭圆外 B．点（3,2）在椭圆上
C．点（－2，－3）在椭圆内 D．点（2，－3）在椭圆上
解析：
＋＝1，则点（－2,3）、点（－2，－3）、点（2，－3）在椭圆上．故选D.
4．已知点（4,2）是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，则l的方程是________．
解析：
设截得的线段为AB，A（x1，y1），B（x2，y2），中点坐标为（x0，y0），利用“点差法”
得＝－， 即·＝－，∴k＝＝－，
∴直线l的方程为y－2＝－（x－4）， 即x＋2y－8＝0.
答案：
x＋2y－8＝0
5．过椭圆＋＝1的左焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，求弦AB的长．
解析：
由椭圆方程得a2＝5，b2＝4，c2＝1，左焦点为（－1,0）．
直线AB的方程为y＝2（x＋1）
代入＋＝1得6x2＋10x＝0. ∴x1＝0或x2＝－
|AB|＝＝
●问题与困惑：
二、互动探究
●问题探究：
（一）椭圆的简单几何性质
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
范围
，
，
顶点
（±a,0），（0，±b）
（±a,0），（0，±b）
轴长
短轴长＝，长轴长
焦点
焦距
|F1F2|＝
对称性
对称轴：
坐标轴，对称中心：
坐标原点.
离心率
.
（二）椭圆的第二定义、准线方程、焦半径等
1、椭圆的第二定义：
若动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数
，则动点的轨迹是一个椭圆.
2、椭圆的准线方程：
若焦点在轴上，则左准线是；右准线是；
若焦点在轴上，则下准线是；上准线是；
3、椭圆上任意一点的焦半径（其中，为左焦点，为右焦点）：
，
（若焦点在轴上，其中，为下焦点，为上焦点，则，
●典例导析：
题型一、椭圆的简单几何性质
例1、求下列椭圆的长轴长和短轴长，焦点坐标和顶点坐标和离心率：
（1）4x2＋9y2＝36；
（2）m2x2＋4m2y2＝1（m＞0）．
[思路点拨]
[解题过程]
（1）将椭圆方程变形为＋＝1，∴a＝3，b＝2，∴c＝＝＝.
∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a＝6,2c＝2，
焦点坐标为F1（－，0），F2（，0），
顶点坐标为A1（－3,0），A2（3,0），B1（0，－2），B2（0,2），
离心率e＝＝.
（2）椭圆的方程m2x2＋4m2y2＝1（m＞0）可化为＋＝1. ∵m2＜4m2，∴＞，
∴椭圆的焦点在x轴上，并且长半轴长a＝，短半轴长b＝，半焦距长c＝.
∴椭圆的长轴长2a＝，短轴长2b＝，
焦点坐标为，，
顶点坐标为，，，.
e＝＝＝.
[题后感悟] 已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2＝b2＋c2，求出焦点坐标，再写出顶点坐标．
变式训练：
1.求下列椭圆的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
（1）25x2＋y2＝25；
（2）4x2＋9y2＝1.
解析：
（1）将椭圆方程变形为x2＋＝1，
∴a＝5，b＝1， ∴c＝＝＝2.
∴椭圆的长轴长2a＝10，短轴长2b＝2.
焦点坐标为F1（0，－2），F2（0,2），
顶点坐标A1（0，－5），A2（0,5），B1（－1,0），B2（1,0）．
离心率e＝＝.
（2）椭圆的长轴长和焦距分别为2a＝1,2c＝，
离心率e＝＝，焦点坐标为F1，F2，
顶点坐标为A1，A2，B1，B2
题型二、由椭圆的几何性质求椭圆的标准方程
例2、求适合下列条件的椭圆的标准方程．
（1）长轴在x轴上，长轴的长等于12，离心率等于；
（2）长轴长是短轴长的2倍，且椭圆过点（－2，－4）．
[思路点拨]
[解题过程]
（1）由已知2a＝12，e＝＝，得a＝6，c＝4，从而b2＝a2－c2＝20，又长轴在x轴上，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
（2）∵2a＝2×2b，∴a＝2b，
当焦点在x轴上时，设方程为＋＝1，
∵点（－2，－4）在椭圆上，∴＋＝1，∴b2＝17.
∴椭圆的标准方程为＋＝1，
当焦点在y轴上时，设方程为：
＋＝1，
∵点（－2，－4）在椭圆上，∴＋＝1，
∴b2＝8，∴椭圆的标准方程为：
＋＝1.
综上，椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
[题后感悟]
（1）利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法．
（2）根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，一般步骤是：
①求出a2，b2的值；②确定焦点所在的坐标轴；③写出标准方程．
（3）解此类题要仔细体会方程思想在解题中的应用．
变式训练：
2.求适合下列条件的椭圆的标准方程．
（1）在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6；
（2）以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过点A（5,0）．
解析：
（1）设椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0）．
如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线（高），
且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
∴c＝b＝3， ∴a2＝b2＋c2＝18，
故所求椭圆的方程为＋＝1.
（2）方法一：
若椭圆的焦点在x轴上，
设其标准方程为＋＝1（a＞b＞0）．由题意，得解得
故所求的标准方程为＋y2＝1；
若椭圆的焦点在y轴上，设其标准方程为＋＝1（a＞b＞0），
由题意，得解得
故所求的标准方程为＋＝1.
综上所述，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1.
方法二：
设椭圆方程为＋＝1（m＞0，n>0，m≠n），
由题意，得或
解得或
故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1.
题型三、求椭圆的离心率
例3、如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆
的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，求此椭圆的离心率．
[思路点拨]
求椭圆的离心率就是要设法建立a、c的关系式，可借助△PF1F2∽△AOB来建
立a、c的关系式．
[规范作答] 设椭圆的方程为＋＝1（a＞b＞0）．
如题图所示，则有F1（－c,0），F2（c,0），A（0，b），B（a,0），
直线PF1的方程为x＝－c，
代入方程＋＝1，得y＝±，
∴P.又PF2∥AB，∴△PF1F2∽△AOB.
∴＝，∴＝，∴b＝2c.
∴b2＝4c2，∴a2－c2＝4c2，∴＝.
∴e2＝，即e＝，所以椭圆的离心率为.
[题后感悟]
（1）求离心率e时，除用关系式a2＝b2＋c2外，还要注意的代换，通过解方程求离心率．
（2）在椭圆中涉及三角形问题时，要充分利用椭圆的定义、正弦定理及余弦定理、全等三角形、相似三角形等知识．
变式训练：
3.已知椭圆的两个焦点为F1、F2，A为椭圆上一点，且AF1⊥AF2，∠AF2F1＝60°，求该椭圆的离心率．
解析：
不妨设椭圆的焦点在x轴上，画出草图如图所示
由AF1⊥AF2知，△AF1F2为直角三角形，且∠AF2F1＝60°.
由椭圆定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，|F1F2|＝2c.
则在Rt△AF1F2中，由∠AF2F1＝60°得|AF2|＝c，|AF1|＝c，
所以|AF1|＋|AF2|＝2a＝（＋1）c，
所以离心率e＝＝－1.
题型四、直线与椭圆的位置关系
例4、若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆＋＝1总有公共点，求m的取值范围．
[思路点拨]
[解题过程] 方法一：
由消去y，
得（m＋5k2）x2＋10kx＋5（1－m）＝0，
∴Δ＝100k2－20（m＋5k2）（1－m）＝20m（5k2＋m－1）．
∵直线与椭圆总有公共点，∴Δ≥0对任意k∈R都成立．
∵m＞0，∴5k2≥1－m恒成立，
∴1－m≤0，即m≥1.
又椭圆的焦点在x轴上， ∴0＜m＜5，
∴1≤m＜5.
方法二：
∵直线y＝kx＋1过定点M（0,1），
∴要使直线与该椭圆总有公共点，则点M（0,1）必在椭圆内或椭圆上，
由此得解得1≤m＜5.
[题后感悟] 判断直线与椭圆的位置关系的常用方法为：
联立直线与椭圆方程，消去y或x，得到关于x或y的一元二次方程，记该方程的判别式为Δ，则
（1）直线与椭圆相交⇔Δ>0；
（2）直线与椭圆相切⇔Δ＝0；（3）直线与椭圆相离⇔Δ<0.
变式训练：
4.对不同的实数值m，讨论直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1的公共点个数．
解析：
直线与椭圆的公共点的坐标就是下面方程组的解：
将①代入②得＋（x＋m）2＝1，
整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0③
此方程的实数根的个数由根的判别式Δ决定，
Δ＝（8m）2－4×5（4m2－4）＝16（5－m2）．
当－＜m＜时，Δ＞0，方程③有两个不同的实数根，代入①可得到两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆有两个公共点．
当m＝－或m＝时，Δ＝0，方程③有两个相等的实数根，代入①可得到一个公共点坐标，此时直线与椭圆有一个公共点．
当m＜－或m＞时，Δ＜0，方程③没有实数根，直线与椭圆没有公共点．
题型五、中点弦问题
例5、已知点P（4,2）是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，求直线l的方程．
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