新高一数学暑假衔接课程.docx

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新高一数学衔接课程说明

课程目标

初高中数学无论是在知识的广度和难度上，还是在学习方法上，都存在较大的差异，对于刚升入新高

一的学生来说，在学习中存在很多不适应的地方：

比如学习习惯、学习方法等.因此我们编写了这套《初高

中数学衔接课程》，旨在解决以上问题.

1．补充初高中脱节的数学知识、需要加深的初中数学知识等，为高中学习铺路搭桥.

2．学习集合与函数等知识，使新高一的学生了解高中数学的基本特点、要求、学法及教学方法；

3．培养学生学习高中数学的自信心.

适用对象

新高一学生

课时安排

授课时间：

7-8月，共计10-15次课，20小时（一对一）或30小时（班组课）.

课程特色

以初中所学知识为起点，逐步过渡到高一知识，注重在初高中知识之间搭台阶，平稳起步；对于高中

新知识，注重对概念、定理、公式的理解，避免死记硬背；在知识衔接的同时，注重学习方法、学习习惯

的衔接.课程结构

第1讲数与式

第2讲一元二次方程与韦达定理

第3讲一元二次函数与二次不等式

第4讲集合的基本概念

第5讲集合的基本运算

第6讲集合的综合复习

第7讲函数的概念与定义域

第8讲求函数的值域

第9讲函数的解析式

第10讲函数的表示方法及值域综合复习

第11讲函数的单调性

（1）

第12讲函数的单调性

（2）

第13讲函数的奇偶性

第14讲指数运算

第15讲对数运算

第1讲数与式

知识点一：

乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式；

（2）完全平方公式．

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式；

（2）立方差公式；

（3）三数和平方公式；

（4）两数和立方公式；

（5）两数差立方公式．

【典型例题】：

（1）计算：

=___________________________________

（2）计算：

=______________________________

（3）计算=____________________________

（4）=___________________________________

变式1：

利用公式计算

（1）=_______________________

（2）=________________________

变式2:

利用立方和、立方差公式进行因式分解

（1）

（2）（3）（4）

【典型例题】

（1）

（2）已知，求的值．

（3）已知，求的值．

变式1:

计算：

变式2:

已知，，求的值．

知识点二、根式

式子叫做二次根式，其性质如下：

（1）

（2）

（3） （4）

【典型例题】：

基本的化简、求值

化简下列各式：

（1）=___________

（2）=_____________

（3）计算=_______________________

（4）=_______________________

（5）=_______________________

（6）设，求=_______________________

变式1:

二次根式成立的条件是（ ）

A． B． C． D．是任意实数

变式2:

若，则的值是（ ）

A．－３ B．３ C．－９ D．９

变式3：

计算

（1）

（2）

知识点三、分式

【典型例题—1】：

1、分式的化简

（1）化简

（2）化简

2、

（1）试证：

（其中n是正整数）；

（2）计算：

；

（3）证明：

对任意大于1的正整数，有．

3、分式的运用

设，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值

变式1：

对任意的正整数n，______________

变式2:

选择题：

若，则=（　　）

（A）１（B）（C）（D）

变式3:

计算

知识点四、因式分解

【内容概述】

因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形。

在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用。

是一种重要的基本技能。

因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外，还有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分组分解法等等。

1、【典型例题】：

公式法（立方和、立方差公式）

我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：

（立方和公式）

（立方差公式）

由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：

这就是说，两个数的立方和（差），等于这两个数的和（差）乘以它们的平方和与它们积的差（和）。

运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解。

例：

（1）

（2）

变式：

分解因式：

（1）

（2）

2、【典型例题】：

分组分解法

从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．

分组分解法的关键在于如何分组．常见题型：

（1）分组后能提取公因式

（2）分组后能直接运用公式

例：

分解因式

（1）=_______________________

（2）=_______________________

（3）=_______________________

（4）=_______________________

3、【典型例题】：

十字相乘法

型的因式分解

把下列各式因式分解：

（1）=_______________________

（2）=_______________________

（3）=_______________________

（4）=_______________________

（5）=_______________________

（6）=_______________________

一般二次三项式型的因式分解

（1）

（2）

变式练习:

（1）x2-6x+5=_______________________

（2）x2+15x+56=_______________________

（3）x2+2xy-3y2=_______________________

（4）（x2+x）2-4（x2+x）-12=_______________________

4、拆项法（选讲）

分解因式=_______________________

课后练习：

1．填空：

（1）（）；

（2）；

（3）．

（4）若，则的值为________

（5）若，则______________

（6），，则________________

（7）若，则_______________

（8）若，则（　　）

　（A）（B）　（C）　（D）

（9）计算等于（　　）

（A）　（B）　（C）　（D）

（10）若，则的值为（ ）

A． B． C． D．

2．化简：

（1）

（2）

3．把下列各式分解因式：

（1）

（2）

（3）（4）

（5） （6）

第2讲一元二次方程与韦达定理

知识点一、一元二次方程根的判别式

【典型例题】

例1.求下列方程的根

（1）

（2）（3）

例2.判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．

（1）x2－3x＋3＝0；

（2）x2－ax－1＝0；（3）x2－ax＋（a－1）＝0（4）x2－2x＋a＝0．

变式练习:

已知关于的一元二次方程，根据下列条件，分别求出的范围：

（1）方程有两个不相等的实数根；

（2）方程有两个相等的实数根；

（3）方程有实数根； （4）方程无实数根。

知识点二、根与系数的关系（韦达定理）

【内容概述】

若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根，，

则有：

；

．

所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：

x1＋x2＝，x1·x2＝．

这一关系也被称为“韦达定理”．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知：

x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，即：

p＝－（x1＋x2），q＝x1·x2，

所以，方程x2＋px＋q＝0可化为x2－（x1＋x2）x＋x1·x2＝0。

由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－（x1＋x2）x＋x1·x2＝0的两根．因此有：

以x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2－（x1＋x2）x＋x1·x2＝0．

例3.已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值．

例4.已知关于x的方程x2＋2（m－2）x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．

例5.已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．

例6.若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根．

（1）求|x1－x2|的值；

（2）求的值；（3）．

变式：

若是方程的两个根，试求下列各式的值：

（1）；

（2）； （3）； （4）

例7.若关于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的范围．

例8.已知关于的方程，根据下列条件，分别求出的值。

（1）方程两实根的积为5；

（2）方程的两实根满足。

例9.已知是一元二次方程的两个实数根。

（1）是否存在实数，使成立？

若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

（2）求使的值为整数的实数的整数值。

变式1：

填空:

（1）若方程x2－3x－1＝0的两根分别是x1和x2，则＝．

（2）方程mx2＋x－2m＝0（m≠0）的根的情况是．

（3）以－3和1为根的一元二次方程是．

（4）若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的两个实数根，则m2n＋mn2－mn的值等于．

（5）如果a，b是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是