5．K7[2014·新课标全国卷Ⅱ]某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）
A．0.8B．0.75C．0.6D．0.45
5．A [解析]设“第一天空气质量为优良”为事件A，“第二天空气质量为优良”为事件B，则P（A）＝0.75，P（AB）＝0.6，由题知要求的是在事件A发生的条件下事件B发生的概率，根据条件概率公式得P（B|A）＝＝＝0.8.
6．G2[2014·新课标全国卷Ⅱ]如图11，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）
图11
A.B.C.D.
6．C [解析]该零件是一个由两个圆柱组成的组合体，其体积为π×32×2＋π×22×4＝34π（cm3），原毛坯的体积为π×32×6＝54π（cm3），切削掉部分的体积为54π－34π＝20π（cm3），故所求的比值为＝.
7．L1[2014·新课标全国卷Ⅱ]执行如图12所示的程序框图，如果输入的x，t均为2，则输出的S＝（ ）
图12
A．4B．5C．6D．7
7．D [解析]逐次计算，可得M＝2，S＝5，k＝2；M＝2，S＝7，k＝3，此时输出S＝7.
8．B11[2014·新课标全国卷Ⅱ]设曲线y＝ax－ln（x＋1）在点（0，0）处的切线方程为y＝2x，则a＝（ ）
A．0B．1C．2D．3
8．D [解析]y′＝a－，根据已知得，当x＝0时，y′＝2，代入解得a＝3.
9．E5[2014·新课标全国卷Ⅱ]设x，y满足约束条件则z＝2x－y的最大值为（ ）
A．10B．8C．3D．2
9．B [解析]已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A（5，2）处取得最大值，故目标函数的最大值为2×5－2＝8.
10．H7、H8[2014·新课标全国卷Ⅱ]设F为抛物线C：
y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ）
A.B.C.D.
10．D [解析]抛物线的焦点为F，则过点F且倾斜角为30°的直线方程为y＝，即x＝y＋，代入抛物线方程得y2－3y－＝0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＋y2＝3，y1y2＝－，则S△OAB＝|OF||y1－y2|＝××＝.
11．G3[2014·新课标全国卷Ⅱ]直三棱柱ABCA1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（ ）
A.B.C.D.
11．C [解析]如图，E为BC的中点．由于M，N分别是A1B1，A1C1的中点，故MN∥B1C1且MN＝B1C1，故MN綊BE，所以四边形MNEB为平行四边形，所以EN綊BM，所以直线AN，NE所成的角即为直线BM，AN所成的角．设BC＝1，则B1M＝B1A1＝，所以MB＝＝＝NE，AN＝AE＝，
在△ANE中，根据余弦定理得cos∠ANE＝＝.
12．E3、C4[2014·新课标全国卷Ⅱ]设函数f（x）＝sin，若存在f（x）的极值点x0满足x＋[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（ ）
A．（－∞，－6）∪（6，＋∞）
B．（－∞，－4）∪（4，＋∞）
C．（－∞，－2）∪（2，＋∞）
D．（－∞，－1）∪（1，＋∞）
12．C [解析]函数f（x）的极值点满足＝＋kπ，即x＝m，k∈Z，且极值为±，问题等价于存在k0使之满足不等式m2＋34，解得m>2或m<－2，故m的取值范围是（－∞，－2）∪（2，＋∞）．
13．J3[2014·新课标全国卷Ⅱ]（x＋a）10的展开式中，x7的系数为15，则a＝________．（用数字填写答案）
13. [解析]展开式中x7的系数为Ca3＝15，
即a3＝，解得a＝.
14．C3、C5[2014·新课标全国卷Ⅱ]函数f（x）＝sin（x＋2φ）－2sinφcos（x＋φ）的最大值为________．
14．1 [解析]函数f（x）＝sin（x＋2φ）－2sinφcos（x＋φ）＝sin[（x＋φ）＋φ]－2sinφcos（x＋φ）＝sin（x＋φ）cosφ－cos（x＋φ）sinφ＝sinx，故其最大值为1.
15．B4[2014·新课标全国卷Ⅱ]已知偶函数f（x）在[0，＋∞）单调递减，f
（2）＝0，若f（x－1）＞0，则x的取值范围是________．
15．（－1，3） [解析]根据偶函数的性质，易知f（x）>0的解集为（－2，2），若f（x－1）>0，则－216．C8、C9[2014·新课标全国卷Ⅱ]设点M（x0，1），若在圆O：
x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．
16．[－1，1] [解析]在△OMN中，OM＝≥1＝ON，所以设∠ONM＝α，则45°≤α<135°.根据正弦定理得＝，所以＝sinα∈[1，]，所以0≤x≤1，即－1≤x0≤1，故符合条件的x0的取值范围为[－1，1]．
17．D1、D3、D5[2014·新课标全国卷Ⅱ]已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.
（1）证明是等比数列，并求{an}的通项公式；
（2）证明＋＋…＋＜.
17．解：
（1）由an＋1＝3an＋1得an＋1＋＝3.
又a1＋＝，所以是首项为，公比为3的等比数列，所以an＋＝，因此数列{an}的通项公式为an＝.
（2）证明：
由
（1）知＝.
因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1，
所以≤，即＝≤.
于是＋＋…＋≤1＋＋…＋＝<.
所以＋＋…＋<.
18．G4、G10[2014·新课标全国卷Ⅱ]如图13，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（1）证明：
PB∥平面AEC；
（2）设二面角DAEC为60°，AP＝1，AD＝，求三棱锥EACD的体积．
图13
18．解：
（1）证明：
连接BD交AC于点O，连接EO.
因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点．
又E为PD的中点，所以EO∥PB.
因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，
所以PB∥平面AEC.
（2）因为PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，
所以AB，AD，AP两两垂直．
如图，以A为坐标原点，，AD，AP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，||为单位长，建立空间直角坐标系Axyz，则D，E，＝.
设B（m，0，0）（m>0），则C（m，，0），＝（m，，0）．
设n1＝（x，y，z）为平面ACE的法向量，
则即
可取n1＝.
又n2＝（1，0，0）为平面DAE的法向量，
由题设易知|cos〈n1，n2〉|＝，即
＝，解得m＝.
因为E为PD的中点，所以三棱锥EACD的高为.三棱锥EACD的体积V＝××××＝.
19．I4[2014·新课标全国卷Ⅱ]某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：
千元）的数据如下表：
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
（1）求y关于t的线性回归方程；
（2）利用
（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．
附：
回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
＝，＝－.
19．解：
（1）由所给数据计算得＝（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7）＝4，＝（2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9）＝4.3，
（ti－）（yi－）＝（－3）×（－1.4）＋（－2）×（－1）＋（－1）×（－0.7）＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，
＝＝＝0.5，
＝－＝4.3－0.5×4＝2.3，
所求回归方程为＝0.5t＋2.3.
（2）由
（1）知，＝0.5>0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．
将2015年的年份代号t＝9，代入
（1）中的回归方程，得＝0.5×9＋2.3＝6.8，
故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．
20．H5、H8、H10[2014·新课标全国卷Ⅱ]设F1，F2分别是椭圆C：
＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.
（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；
（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝
5|F1N|，求a，b.
20．解：
（1）根据c＝及题设知M，2b2＝3ac.
将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，
解得＝，＝－2（舍去）．
故C的离心率为.
（2）由题意知，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，故＝4，即b2＝4a.①
由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.
设N（x1，y1），由题意知y1<0，则
即
代入C的方程，得＋＝1.②
将①及c＝代入②得＋＝1，
解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2.
21．B12、B14[2014·新课标全国卷Ⅱ]已知函数f（x）＝ex－e－x－2x.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设g（x）＝f（2x）－4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；
（3）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．
21．解：
（1）f′（x）＝ex＋e－x－2≥0，当且仅当x＝0时，等号成立，
所以f（x）在（－
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