数学归纳法教案(含答案).docx

数学归纳法教案(含答案).docx

《数学归纳法教案(含答案).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学归纳法教案(含答案).docx（22页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

数学归纳法

例1、证明：

证明：

（1）当时，左边=2，右边=2，等式成立。

（2）假设时等式成立，即

那么，当时，

所以，时等式也成立。

由

（1）和

（2）可知，等式对于任何正整数都成立。

2、归纳总结

数学归纳法证明步骤：

（1）验证当取第一个值（如=1或2时）命题正确。

（2）假设当时命题正确，证明时命题也正确。

3.用数学归纳法证明恒等式应注意

（1）明确初始值n0的取值并验证n＝n0时等式成立．

（2）由n＝k证明n＝k＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标．

4.猜想

1.数列{an}满足Sn＝2n－an（n∈N*）．

（1）计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；

（2）证明

（1）中的猜想．

（1）解　当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1；

当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝；

当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝；

当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4，

∴a4＝. [3分]

由此猜想an＝（n∈N*）． [5分]

（2）证明　①当n＝1时，a1＝1，结论成立． [6分]

②假设n＝k（k≥1且k∈N*）时，结论成立，

即ak＝，那么n＝k＋1时，

ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2（k＋1）－ak＋1－2k＋ak

＝2＋ak－ak＋1，

∴2ak＋1＝2＋ak. [10分]

∴ak＋1＝＝＝.

∴当n＝k＋1时，结论成立． [13分]

由①②知猜想an＝（n∈N*）成立．

归纳—猜想—证明问题的一般步骤

第一步：

计算数列前几项或特殊情况，观察规律猜测数列的通项或一般结论；

第二步：

验证一般结论对第一个值n0（n0∈N*）成立；

第三步：

假设n＝k（k≥n0，k∈N*）时结论成立，证明当n＝k＋1时结论也成立；

第四步：

下结论，由上可知结论对任意n≥n0，n∈N*成立．

1．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝（a≠1，n∈N*），在验证n＝1时，等式左边的项是______________．

答案　1＋a＋a2

解析　当n＝1时，n＋1＝2，中/华-资*源%库

∴左边＝1＋a1＋a2＝1＋a＋a2.

2．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n（n－3）条时，第一步检验n＝________.

答案　3

解析　凸n边形边数最小时是三角形，

故第一步检验n＝3.

3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上____________________．

答案　（k2＋1）＋（k2＋2）＋（k2＋3）＋…＋（k＋1）2

解析　等式左边是从1开始的连续自然数的和，直到n2.

故n＝k＋1时，最后一项是（k＋1）2，而n＝k时，最后一项是k2，应加上（k2＋1）＋（k2＋2）＋（k2＋3）＋…＋（k＋1）2.

4.已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…－＝2（＋＋…＋）时，若已假设n＝k（k≥2且k为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证________．

①n＝k＋1时等式成立

②n＝k＋2时等式成立

③n＝2k＋2时等式成立

④n＝2（k＋2）时等式成立

答案　②

解析　因为n为正偶数，n＝k时等式成立，中/华-资*源%库

即n为第k个偶数时命题成立，

所以需假设n为下一个偶数，即n＝k＋2时等式成立．

5．（教材改编）已知{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n∈N*，且a1＝2，则a2＝________，a3＝________，a4＝________，猜想an＝________.

答案　3　4　5　n＋1

6．设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有（Sn－1）2＝anSn，通过计算S1，S2，S3，猜想Sn＝________.

答案　

解析　由（S1－1）2＝S1·S1，得S1＝，由（S2－1）2＝（S2－S1）S2，得S2＝，

同理得S3＝，猜想Sn＝.

7.用数学归纳法证明：

＋＋…＋＝（n∈N*）．

证明　①当n＝1时，左边＝＝，

右边＝＝，

左边＝右边，等式成立．

②假设n＝k（k≥1，k∈N*）时，等式成立．

即＋＋…＋＝，

当n＝k＋1时，

左边＝＋＋…＋＋

＝＋

＝

＝

＝，

右边＝

＝，

左边＝右边，等式成立．

即对所有n∈N*，原式都成立．

8.已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1.

（1）写出a1，a2，a3，并推测an的表达式；

（2）用数学归纳法证明所得的结论．

解：

（1）将n＝1，2，3分别代入可得a1＝，a2＝，a3＝，猜想an＝2－.

（2）证明：

①由

（1）得n＝1时，命题成立．

②假设n＝k（k≥1，k∈N*）时，命题成立，即ak＝2－，

那么当n＝k＋1时，

a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2（k＋1）＋1，

且a1＋a2＋…＋ak＝2k＋1－ak，

∴2k＋1－ak＋2ak＋1＝2（k＋1）＋1＝2k＋3，

∴2ak＋1＝2＋2－，ak＋1＝2－，

即当n＝k＋1时，命题也成立．

根据①、②得，对一切n∈N*，an＝2－都成立．

数学归纳法练习

1．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋＜n（n＞1，），在验证n＝2成立时，左式是______________．

【解析】当n＝2时，，故左式＝．

【答案】

2．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋（2n＋1）＝（n＋1）·（2n＋1）时，从n＝k到n＝k＋1，左边需增添的代数式是（　　）

A．2k＋2 B．2k＋3

C．2k＋1 D．（2k＋2）＋（2k＋3）

答案：

D

3．用数学归纳法证明（）时，从“到”左边需增乘的代数式（）

A．B．C．D．

4．设S1＝12，S2＝12＋22＋12，…，Sn＝12＋22＋32＋…＋（n－1）2＋n2＋（n－1）2＋…＋22＋12，用数学归纳法证明Sn＝时，第二步从“k”到“k＋1”应添加的项为________．

答案　（k＋1）2＋k2

解析　由S1，S2，…，Sn可以发现由n＝k到n＝k＋1时，中间增加了两项（k＋1）2＋k2（n，k∈N*）．

5．在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n（2n－1）an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为an＝______________.

答案　

解析　当n＝2时，＋a2＝（2×3）a2，∴a2＝.

当n＝3时，＋＋a3＝（3×5）a3，∴a3＝.

当n＝4时，＋＋＋a4＝（4×7）a4，a4＝.

故猜想an＝.

6．在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n（2n－1）an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为（　　）

A. B.

C. D.

解析：

选C.由a1＝，Sn＝n（2n－1）an，求得a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝.猜想an＝.

7.用数学归纳法证明：

＋＋＋…＋＝（n∈N*）．

[证明]　

（1）当n＝1时，左边＝＝，

右边＝＝.

左边＝右边，所以等式成立．

（2）假设n＝k（k∈N*且k≥1）时等式成立，即有

＋＋＋…＋＝，

则当n＝k＋1时，

＋＋＋…＋＋

＝＋＝

＝＝＝.

所以当n＝k＋1时，等式也成立，

由

（1）、

（2）可知，对于一切n∈N*等式都成立．

8.设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2nan＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3＝15.

（1）求a1，a2，a3的值；

（2）求数列{an}的通项公式．

解：

（1）由题意知S2＝4a3－20，∴S3＝S2＋a3＝5a3－20.

又S3＝15，∴a3＝7，S2＝4a3－20＝8.

又S2＝S1＋a2＝（2a2－7）＋a2＝3a2－7，

∴a2＝5，a1＝S1＝2a2－7＝3.

综上知，a1＝3，a2＝5，a3＝7.

（2）由

（1）猜想an＝2n＋1，下面用数学归纳法证明．

①当n＝1时，结论显然成立；

②假设当n＝k（k≥1，k∈N*）时，ak＝2k＋1，

则Sk＝3＋5＋7＋…＋（2k＋1）＝＝k（k＋2）．

又Sk＝2kak＋1－3k2－4k，

∴k（k＋2）＝2kak＋1－3k2－4k，解得2ak＋1＝4k＋6，

∴ak＋1＝2（k＋1）＋1，即当n＝k＋1时，结论成立．

由①②知，对于∀n∈N*，an＝2n＋1.

数学归纳法

例1、证明：

2、归纳总结

数学归纳法证明步骤：

（1）验证当取第一个值（如=1或2时）命题正确。

（2）假设当时命题正确，证明时命题也正确。

3.用数学归纳法证明恒等式应注意

（1）明确初始值n0的取值并验证n＝n0时等式成立．

（2）由n＝k证明n＝k＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标．

4.猜想

1.数列{an}满足Sn＝2n－an（n∈N*）．

（1）计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；

（2）证明

（1）中的猜想．

归纳—猜想—证明问题的一般步骤

第一步：

计算数列前几项或特殊情况，观察规律猜测数列的通项或一般结论；

第二步：

验证一般结论对第一个值n0（n0∈N*）成立；

第三步：

假设n＝k（k≥n0，k∈N*）时结论成立，证明当n＝k＋1时结论也成立；

第四步：

下结论，由上可知结论对任意n≥n0，n∈N*成立．

1．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝（a≠1，n∈N*），在验证n＝1时，等式左边的项是______________．

2．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n（n－3）条时，第一步检验n＝________.

3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上____________________．

4.已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…－＝2（＋＋…＋）时，若已假设n＝k（k≥2且k为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证________．

①n＝k＋1时等式成立

②n＝k＋2时等式成立

③n＝2k＋2时等式成立

④n＝2（k＋2）时等式成立

5．已知{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n∈N*，且a1＝2，则a2＝________，a3＝________，a4＝________，猜想an＝________.

6．设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有（Sn－1）2＝anSn，通过计算S1，S2，S3，猜想Sn＝________.

7.用数学归纳法证明：

＋＋…＋＝（n∈N*）．