数学归纳法经典例题及答案.doc

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数学归纳法（2016.4.21）

一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：

（1）证明当取第一个值（如或2等）时结论正确；

（2）假设当时结论正确，证明时结论也正确．

综合

（1）、

（2），……

注意：

数学归纳法使用要点：

两步骤,一结论。

二、题型归纳：

题型1.证明代数恒等式

例1．用数学归纳法证明：

证明：

①n=1时，左边，右边，左边=右边，等式成立．

②假设n=k时，等式成立，即：

．

当n=k+1时．

这就说明，当n=k+1时，等式亦成立，

由①、②可知，对一切自然数n等式成立．

题型2.证明不等式

例2．证明不等式（n∈N）．

证明：

①当n=1时，左边=1，右边=2．

左边<右边，不等式成立．

②假设n=k时，不等式成立，即．

那么当n=k+1时，

这就是说，当n=k+1时，不等式成立．

由①、②可知，原不等式对任意自然数n都成立．

说明：

这里要注意，当n=k+1时，要证的目标是

，当代入归纳假设后，就是要证明：

．

认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．

题型3.证明数列问题

例3（x＋1）n＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2＋a3（x－1）3＋…＋an（x－1）n（n≥2，n∈N*）．

（1）当n＝5时，求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值．

（2）设bn＝，Tn＝b2＋b3＋b4＋…＋bn.试用数学归纳法证明：

当n≥2时，Tn＝.

解：

（1）当n＝5时，

原等式变为（x＋1）5＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2＋a3（x－1）3＋a4（x－1）4＋a5（x－1）5

令x＝2得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35＝243.

（2）因为（x＋1）n＝[2＋（x－1）]n，所以a2＝Cn2·2n－2

bn＝＝2Cn2＝n（n－1）（n≥2）

①当n＝2时．左边＝T2＝b2＝2，

右边＝＝2，左边＝右边，等式成立．

②假设当n＝k（k≥2，k∈N*）时，等式成立，

即Tk＝成立

那么，当n＝k＋1时，

左边＝Tk＋bk＋1＝＋（k＋1）[（k＋1）－1]＝＋k（k＋1）

＝k（k＋1）＝

＝＝右边．

故当n＝k＋1时，等式成立．

综上①②，当n≥2时，Tn＝.

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