数列知识点及常用解题方法归纳总结.doc

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数列知识点及常用解题方法归纳总结

一、等差数列的定义与性质

0的二次函数）

项，即：

二、等比数列的定义与性质

三、求数列通项公式的常用方法

1、公式法

2、；

3、求差（商）法

解：

，，

［练习］

4、叠乘法

解：

5、等差型递推公式

［练习］

6、等比型递推公式

［练习］

7、倒数法

，

，

，

三、求数列前n项和的常用方法

1、公式法：

等差、等比前n项和公式

2、裂项法：

把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。

解：

［练习］

3、错位相减法：

4、倒序相加法：

把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

［练习］

例1设{an}是等差数列，若a2=3，a=13，则数列{an}前8项的和为（）

A．128B．80C．64D．56（福建卷第3题）

略解：

∵a2+a=a+a=16，∴{an}前8项的和为64，故应选C．

例2已知等比数列满足，则（）

A．64 B．81 C．128 D．243（全国Ⅰ卷第7题）

答案：

A．

例3已知等差数列中，，，若，则数列的前5项和等于（）

A．30 B．45 C．90 D．186（北京卷第7题）

略解：

∵a-a=3d=9，∴d=3，b=，b=a=30，的前5项和等于90，故答案是C．

例4记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差（）

A．2B．3C．6D．7（广东卷第4题）

略解：

∵,故选B.

例5在数列中，，，,其中为常数，则．（安徽卷第15题）

答案：

－1．

例6在数列中，，，则（）

A．B．

C．D．（江西卷第5题）

答案：

A．

例7设数列中，，则通项___________．（四川卷第16题）

此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式，抓住中系数相同是找到方法的突破口．

略解：

∵∴，，，，，，．将以上各式相加，得，故应填+1．

例8若（x+）n的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中x4项的系数为（）

A．6 B．7 C．8 D．9（重庆卷第10题）

答案：

B．

使用选择题、填空题形式考查的文科数列试题，充分考虑到文、理科考生在能力上的差异，侧重于基础知识和基本方法的考查，命题设计时以教材中学习的等差数列、等比数列的公式应用为主，如，例4以前的例题．例5考查考生对于等差数列作为自变量离散变化的一种特殊函数的理解；例6、例7考查由给出的一般数列的递推公式求出数列的通项公式的能力；例8则考查二项展开式系数、等差数列等概念的综合运用．重庆卷第1题，浙江卷第4题，陕西卷第4题，天津卷第4题，上海卷第14题，全国Ⅱ卷第19题等，都是关于数列的客观题，可供大家作为练习．

例9已知｛an｝是正数组成的数列，a1=1，且点（）（nN*）在函数y=x2+1的图象上.（Ⅰ）求数列｛an｝的通项公式；（Ⅱ）若数列｛bn｝满足b1=1，bn+1=bn+，求证：

bn·bn+2＜b2n+1.（福建卷第20题）

略解：

（Ⅰ）由已知，得an+1-an=1，又a1=1,所以数列｛an｝是以1为首项，公差为1的等差数列．故an=1+（n-1）×1=n.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，an=n，从而bn+1-bn=2n，bn=（bn-bn-1）+（bn-1-bn-2）+…+（b2-b1）+b1=2n-1+2n-2+…+2+1=2n-1．∵.bn•bn+2-b=（2n-1）（2n+2-1）-（2n+1-1）2=-2n＜0,∴bn·bn+2＜b．

对于第（Ⅱ）小题，我们也可以作如下的证明：

∵b2=1,bn·bn+2-b=（bn+1-2n）（bn+1+2n+1）-b=2n+1·bn+1-2n·bn+1-2n·2n+1＝2n（bn+1-2n+1）=2n（bn+2n-2n+1）=2n（bn-2n）=…=2n（b1-2）=-2n<0，∴bn-bn+2

例10在数列中，，．（Ⅰ）设．证明：

数列是等差数列；（Ⅱ）求数列的前项和．（全国Ⅰ卷第19题）

略解：

（Ⅰ）====1，则为等差数列，，，．

（Ⅱ），．两式相减，得=．

对于例10第（Ⅰ）小题，基本的思路不外乎推出后项减前项差相等，即差是一个常数．可以用迭代法，但不可由b2-b1=1，b-b=1等有限个的验证归纳得到为等差数列的结论，犯“以偏盖全”的错误．第（Ⅱ）小题的“等比差数列”，在高考数列考题中出现的频率很高，求和中运用的“错项相减”的方法，在教材中求等比数列前n项和时给出，是“等比差数列”求和时最重要的方法．一般地，数学学习中最为重要的内容常常并不在结论本身，而在于获得这一结论的路径给予人们的有益启示．

例9、例10是高考数学试卷中数列试题的一种常见的重要题型，类似的题目还有浙江卷第18题，江苏卷第19题，辽宁卷第20题等，其共同特征就是以等差数列或等比数列为依托构造新的数列．主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查转化与化归思想，考查推理与运算能力．考虑到文、理科考生在能力上的差异，与理科试卷侧重于理性思维，命题设计时以一般数列为主，以抽象思维和逻辑思维为主的特点不同；文科试卷则侧重于基础知识和基本方法的考查，以考查具体思维、演绎思维为主．

例11等差数列的各项均为正数，，前项和为，为等比数列,，且．（Ⅰ）求与；（Ⅱ）求和：

．（江西卷第19题）

略解：

（Ⅰ）设的公差为，的公比为，依题意有解之，得或（舍去，为什么？

）故．

（Ⅱ），∴．

“裂项相消”是一些特殊数列求和时常用的方法．

使用解答题形式考查数列的试题，其内容还往往是一般数列的内容，其方法是研究数列通项及前n项和的一般方法，并且往往不单一考查数列，而是与其他内容相综合，以体现出对解决综合问题的考查力度．数列综合题对能力有较高的要求，有一定的难度，对合理区分较高能力的考生起到重要的作用．

例12设数列的前项和为，（Ⅰ）求；（Ⅱ）证明：

是等比数列；（Ⅲ）求的通项公式．（四川卷第21题）

略解：

（Ⅰ）∵，所以．由知，得，①，，．

（Ⅱ）由题设和①式知，，是首项为2，公比为2的等比数列．

（Ⅲ）

此题重点考查数列的递推公式，利用递推公式求数列的特定项，通项公式等．推移脚标，两式相减是解决含有的递推公式的重要手段，使其转化为不含的递推公式，从而有针对性地解决问题．在由递推公式求通项公式时，首项是否可以被吸收是易错点．同时，还应注意到题目设问的层层深入，前一问常为解决后一问的关键环节，为求解下一问指明方向．

例13数列满足（I）求，并求数列的通项公式；（II）设，，，求使的所有k的值，并说明理由．（湖南卷第20题）

略解：

（I）

一般地,当时，

即

所以数列是首项为0、公差为4的等差数列，因此当时，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此故数列的通项公式为

（II）由（I）知，

=

于是，.

下面证明:

当时，事实上,当时，即又所以当时，故满足的所有k的值为3,4,5.

数列知识点回顾

第一部分：

数列的基本概念

1．理解数列定义的四个要点

⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列．

⑵在数列中同一个数可以重复出现．

⑶项a与项数n是两个根本不同的概念．

⑷数列可以看作一个定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列．

2．数列的通项公式

一个数列{a}的第n项a与项数n之间的函数关系，如果用一个公式a=来表示，就把这个公式叫做数列{a}的通项公式。

若给出数列{a}的通项公式，则这个数列是已知的。

若数列{a}的前n项和记为S，则S与a的关系是：

a=。

第二部分：

等差数列

1．等差数列定义的几个特点：

⑴公差是从第一项起，每一项减去它前一项的差（同一常数），即d=a－a（n≥2）或d=a－a（nN）．

⑵要证明一个数列是等差数列，必须对任意nN，a－a=d（n≥2）或d=a－a都成立．一般采用的形式为：

①当n≥2时，有a－a=d（d为常数）．

②当n时，有a－a=d（d为常数）．

③当n≥2时，有a－a=a－a成立．

若判断数列{a}不是等差数列，只需有a－a≠a－a即可．

2．等差中项

若a、A、b成等差数列，即A=，则A是a与b的等差中项；若A=，则a、A、b成等差数列，故A=是a、A、b成等差数列，的充要条件。

由于a=，所以，等差数列的每一项都是它前一项与后一项的等差中项。

3．等差数列的基本性质

⑴公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d．

⑵公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd．

⑶若{a}、{b}为等差数列，则{a±b}与{ka＋b}（k、b为非零常数）也是等差数列．

⑷对任何m、n，在等差数列{a}中有：

a=a+（n－m）d，特别地，当m=1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性．

⑸、一般地，如果l，k，p，…，m，n，r，…皆为自然数，且l+k+p+…=m+n+r+…（两边的自然数个数相等），那么当{a}为等差数列时，有：

a+a+a+…=a+a+a+…．

⑹公差为d的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd（k为取出项数之差）．

⑺如果{a}是等差数列，公差为d，那么，a，a，…，a、a也是等差数列，其公差为－d；在等差数列{a}中，a－a=a－a=md．（其中m、k、）

⑻在等差数列中，从第一项起，每一项（有穷数列末项除外）都是它前后两项的等差中项．

⑼当公差d＞0时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当d＜0时，等差数列中的数随项数的减少而减小；d＝0时，等差数列中的数等于一个常数．

⑽设a，a，a为等差数列中的三项，且a与a，a与a的项距差之比=（≠－1），则a=．

4．等差数列前n项和公式S=与S=na＋的比较

前n项和公式

公式适用范围

相同点

S=

用于已知等差数列的首项和末项

都是等差数列的前n项和公式

S=na＋

用于已知等差数列的首项和公差

5．等差数列前n项和公式S的基本性质

⑴数列{a}为等差数列的充要条件是：

数列{a}的前n项和S可以写成S=an+bn的形式（其中a、b为常数）．

⑵在等差数列