数列求和方法归纳与训练.doc
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数列求和
一、直接求和法（或公式法）
掌握一些常见的数列的前n项和：
，1+3+5+……+（2n-1）=,
2+4+6+......+2n=n（n+1）
等.
例1求．
变式练习：
已知，求的前n项和.
二、倒序相加法
此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和.
例2求的和．
三、裂项相消法
常见的拆项公式有：
，，
，等.
例3已知，
求 的和．
小结：
如果数列的通项公式很容易表示成另一个数列的相邻两项的差，即，则有.这种方法就称为裂项相消求和法.
变式练习：
求数列，，，…，，…的前n项和S.
四、错位相减法
源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如的数列，其中为等差数列，为等比数列，均可用此法.
例4求的和．
小结：
错位相减法的步骤是：
①在等式两边同时乘以等比数列的公比；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n项和公式求和.
变式练习：
求数列a,2a2,3a3,4a4,…,nan,…（a为常数）的前n项和。
五、分组求和法
若数列的通项是若干项的代数和，可将其分成几部分来求.
例5求数列，的前项和．
变式练习：
求数列的前n项和
数列求和基础训练
1.等比数列的前ｎ项和Sｎ＝2ｎ－１，则＝________________.
2.设，则＝_______________________.
3..
4.=__________
5.数列的通项公式，前n项和
6的前n项和为_________
数列求和提高训练
1．数列{an}满足：
a1＝1，且对任意的m，n∈N*都有：
am＋n＝am＋an＋mn，则（）
A． B． C． D．
2．数列{an}、{bn}都是公差为1的等差数列，若其首项满足a1＋b1＝5，a1＞b1，且a1，b1∈N*，则数列{}前10项的和等于（）
A．100 B．85 C．70 D．55
3．设m=1×2+2×3+3×4+…+（n-1）·n，则m等于（）
A.B.n（n+4）C.n（n+5）D.n（n+7）
4．若Sn=1-2+3-4+…+（-1）n-1·n，则S17+S33＋Ｓ50等于（）
A.1B.-1C.0D.2
5．设{an}为等比数列,{bn}为等差数列，且b1=0,cn=an+bn,若数列{cn}是1,1,2,…,则{cn}的前10项和为（）
A.978B.557C.467D.979
6．若数列{an}的通项公式是an＝（－1）n（3n－2），则a1＋a2＋…＋a10＝ （） （ ）
A．15B.12C．－12D.－15
解析A 设bn＝3n－2，则数列{bn}是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝（－b1）＋b2＋…＋（－b9）＋b10＝（b2－b1）＋（b4－b3）＋…＋（b10－b9）＝5×3＝15.
7．一个有2001项且各项非零的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为.
8．若12+22+…+（n-1）2=an3+bn2+cn，则a=,b=,c=.
9．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＞0，且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{bn}的第二、三、四项．
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）设数列{cn}对任意自然数n均有成立．
求c1＋c2＋c3＋…＋c2014的值．
10.设数列{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列的前n项和，求Tn.
11．已知数列{an}的首项a1＝，an＋1＝（n＝1,2，…）．
（1）证明：
数列是等比数列；
（2）求数列的前n项和Sn.
数列求和
一、直接求和法（或公式法）
掌握一些常见的数列的前n项和：
，1+3+5+……+（2n-1）=
，等.
例1求．
解：
原式．
由等差数列求和公式，得原式．
变式练习：
已知，求的前n项和.
解：
1－
二、倒序相加法
此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和.
例2求的和．
解：
设
则．
两式相加，得．
三、裂项相消法
常见的拆项公式有：
，，
，等.
例3已知，
求 的和．
解：
，
小结：
如果数列的通项公式很容易表示成另一个数列的相邻两项的差，即，则有.这种方法就称为裂项相消求和法.
变式练习：
求数列，，，…，，…的前n项和S.
解：
∵=）
Sn===
四、错位相减法
源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如的数列，其中为等差数列，为等比数列，均可用此法.
例4求的和．
解：
当时，；当时，．
小结：
错位相减法的步骤是：
①在等式两边同时乘以等比数列的公比；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n项和公式求和.
变式练习：
求数列a,2a2,3a3,4a4,…,nan,…（a为常数）的前n项和。
解：
（1）若a=0,则Sn=0
（2）若a=1,则Sn=1+2+3+…+n=
（3）若a≠0且a≠1
则Sn=a+2a2+3a3+4a4+…+nan，∴aSn=a2+2a3+3a4+…+nan+1
∴（1-a）Sn=a+a2+a3+…+an-nan+1=
∴Sn=当a=0时，此式也成立。
∴Sn=
五、分组求和法
若数列的通项是若干项的代数和，可将其分成几部分来求.
例5求数列，的前项和．
．
变式练习：
求数列的前n项和
解：
数列求和基础训练
1.等比数列的前ｎ项和Sｎ＝2ｎ－１，则＝
2.设，则＝.
3..
4.=
5.数列的通项公式，前n项和
6.的前n项和为
数列求和提高训练
1．数列{an}满足：
a1＝1，且对任意的m，n∈N*都有：
am＋n＝am＋an＋mn，则（A）
A． B． C． D．
解：
∵am＋n＝am＋an＋mn，∴an＋1＝an＋a1＋n＝an＋1＋n，
∴利用叠加法得到：
，∴，
∴．
2．数列{an}、{bn}都是公差为1的等差数列，若其首项满足a1＋b1＝5，a1＞b1，且a1，b1∈N*，则数列{}前10项的和等于（B）
A．100 B．85 C．70 D．55
解：
∵an＝a1＋n－1，bn＝b1＋n－1∴＝a1＋bn－1＝a1＋（b1＋n―1）―1＝a1＋b1＋n－2＝5＋n－2＝n＋3则数列{}也是等差数列，并且前10项和等于：
答案：
B.
3．设m=1×2+2×3+3×4+…+（n-1）·n，则m等于（A）
A.B.n（n+4）C.n（n+5）D.n（n+7）
3．解：
因为an=n2-n.，则依据分组集合即得.答案;A.
4．若Sn=1-2+3-4+…+（-1）n-1·n，则S17+S33＋Ｓ50等于（A）
A.1B.-1C.0D.2
解：
对前n项和要分奇偶分别解决，即：
Sn=答案：
A
5．设{an}为等比数列,{bn}为等差数列，且b1=0,cn=an+bn,若数列{cn}是1,1,2,…,则{cn}的前10项和为（A）
A.978B.557C.467D.979
解由题意可得a1=1,设公比为q,公差为d,则
∴q2-2q=0,∵q≠0,∴q=2,∴an=2n-1,bn=（n-1）（-1）=1-n,∴cn=2n-1+1-n,∴Sn=978.答案：
A
6.若数列{an}的通项公式是an＝（－1）n（3n－2），则a1＋a2＋…＋a10＝ （A） （ ）
A．15B.12C．－12 D.－15
解析A 设bn＝3n－2，则数列{bn}是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝（－b1）＋b2＋…＋（－b9）＋b10＝（b2－b1）＋（b4－b3）＋…＋（b10－b9）＝5×3＝15.
7．一个有2001项且各项非零的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为
解：
设此数列{an},其中间项为a1001,
则S奇=a1+a3+a5+…+a2001=1001·a1001,S偶=a2+a4+a6+…+a2000=1000a1001.答案:
8．若12+22+…+（n-1）2=an3+bn2+cn，则a=,b=,c=.
解：
原式=答案：
9．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＞0，且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{bn}的第二、三、四项．
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）设数列{cn}对任意自然数n均有成立．
求c1＋c2＋c3＋…＋c2014的值．
解：
（1）由题意得（a1＋d）（a1＋13d）＝（a1＋4d）2（d＞0）解得d＝2，∴an＝2n－1，可得bn＝3n－1
（2）当n＝1时，c1＝3；当n≥2时，由，得cn＝2·3n－1，
故故c1＋c2＋c3＋…＋c2014＝3＋2×3＋2×32＋…＋2×32002＝32015．
10.设数列{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列的前
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