排列组合复习提纲.doc
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排列、组合与二项式定理
第一节计数原理
1.分类加法计数原理:
.
2.分步乘法计数原理:
.
抽取、分配问题
例1:
将4封不同的信投入3个不同的信箱中,有多少种投法?
1)将4封不同的信投入5个不同的信箱中,要求每个信箱至多一封信,有多少种投法?
2)将1,2,3,4四个数字填入分别标有1,2,3,4的四个方格中,要求每格填入一个数字,则每个方格中的填入的数字与其所标数字都不相同的填法有多少种?
集合与映射
(1)已知集合和集合.
1)分别可以建立多少种从A到B和从B到A的不同映射?
2)可以建立多少个以集合A为定义域,以集合B为值域的不同函数?
(2)设集合,映射,使对任意,都有是奇数,这样的映射有多少种?
(3)已知集合,现取出集合和是的两个子集,使得中最小的数字比中最大的数字大,有多少种不同的取法?
(4)已知集合,映射满足,这样的映射有多少种?
点评:
把握好“映射”概念的本质:
对于集合A中的任何元素在集合B中都有唯一元素和它对应。
于是,要确定一个映射,必须给集合A中每一个元素在集合B中确定一个“象”。
可根据集合A中元素个数分成card(A)步,每一步“搞定”一个元素,都有card(B)种。
所以,共有种。
第二节排列
1.排列:
.
2.排列数:
.记作
(1)计算公式:
(2)性质:
1)2)
例1排列数公式运用
(1)计算;
(2)解关于的方程:
;
(3)证明:
;(4)化简:
;
例2数字问题
(1)用0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的数:
1)能组成多少个五位数?
2)能组成多少个六位奇数?
3)能组成多少个比20000大的五位偶数?
4)能组成多少个比23145大的五位数?
5)能组成多少个能被5整除的四位数?
6)求所有可能的三位数的总和?
(2)在1,2,3,4的排列中,满足的排列有多少个?
例3排位问题4个男生和3个女生站成一排,求:
(1)(有限制条件的排列问题——“优限法”)
1)共有多少种不同排法?
2)A,B两人必须站两端的排法数?
3)A,B不能站两端的排法数?
4)A不站排头,B不站排尾的排法数?
5)A站排头或排尾的排法数?
6)两端不全站女生的排法数?
7)两端全不站女生的排法数?
(2)若站成两排,前排3人,后排4人
1)共有多少种不同的排法?
2)A,B站前排,C,D站后排的排法数?
3)A,B相邻的排法数?
4)A,B不相邻的排法数?
(3)(“相邻”,“不相邻”问题——“捆绑法”和“插空法”)
1)A,B相邻的排法数?
2)A,B,C相邻的排法数?
3)A,B相邻,C,D,E相邻的排法数?
4)A,B不相邻的排法数?
5)三名女生互不相邻的排法数?
6)A,B相邻,C,D,E不相邻的排法数?
7)A在B的左边(相邻或不相邻)的排法数?
8)男生甲不站两端,且恰有两名女生相邻的排法数?
第三节组合
1.组合:
.
2.组合数:
.记作.
(1)计算公式:
(2)性质:
例1组合数公式运用
(1)计算:
;.
(2)已知,求.
(3)已知,求.
(4)已知,求.
(5)已知,求.
(6)已知,求.
(7)解不等式:
1).
2)
例2组合数性质运用
(1)已知,求的值.
(2)已知,求的值.
(3)已知,求的值.
(4)证明:
1)
2)
3)
例3抽取问题(注意分步引起的重复计数)
(1)从20名足球队员中,选出11名参加比赛,并从11人中选出一人担任守门员.有多少种选取方案?
(2)现有20件产品,其中2件次品,从中任选3件检测:
1)有多少种不同选法?
2)恰有一件是次品的选法有多少种?
3)至少有一件次品的选法有多少种?
(3)现有10件产品,其中4件次品,现一件件地进行检测:
1)次品恰好在第六次全部被检测出来的情况有多少种?
2)前六次检测出两个次品的情况有多少种?
(4)从6双鞋中取出4双,求以下取法各有多少种方法:
1)4只均不成对;
2)4只恰有一对;
3)都是一只脚的.
例4元素相同分组——“挡板法”
(1)10本相同的书,分成3堆,每堆至少1本,有多少种分法?
(2)方程有多少组正整数解?
(3)10本相同的书,分成3堆,每堆至少2本,有多少种分法?
(4)将10本相同的书放入四个盒子中,分别放1本、2本、3本、4本,有多少种放法?
例5不同元素分组或分配(分组后全排列)问题
(1)(分组——防止重复)将6本不同的书,分成3组:
1)若平均分成3组,有几种不同分法?
2)若分成1本、2本、3本三组,有几种不同分法?
3)若分成1本、1本、4本三组,有几种不同分法?
(2)(分配)将6本不同的书分给甲、乙、丙三个人:
1)甲、乙、丙三人各2本书,有几种不同分法?
2)若甲1本、乙2本、丙3本,有几种不同分法?
3)若分给3人分别1本、2本、3本,有几种不同分法?
4)若甲1本、乙1本、丙4本,有几种不同分法?
5)若分给3人分别1本、1本、4本,有几种不同分法?
例6几何背景问题
(1)直线和直线上分别有四个点和五个点,以这些点为顶点作三角形,这样的三角形共有多少个?
(2)在连接正八边形的三个顶点构成的三角形中,与正八边形没有公共边的三角形有多少个?
(3)正六边形的中心和顶点共7个点,以其中三个点为顶点的三角形有多少个?
(4)角,边上有四个不同的点,边上有三个不同的点,以这七个点和点中的三个为顶点,可以确定多少个不同的三角形?
(5)平面内有10个点,其中仅有4点共线,其余任意3点不共线
1)以这些点为顶点可构成多少个不同的三角形?
2)有这些点可以确定多少条不同的直线?
(6)正方体八个顶点中:
1)以其中的的三个为顶点,可以得到多少个不同的四面体?
可以得到多少个正四面体?
2)由其中的两个顶点确定的直线中,有多少对异面直线?
(7)用正五棱柱的10个顶点中的五个顶点作四棱柱的顶点,共可得到多少个不同的四棱柱?
(8)(最短路径问题)对型方格,最短路径数是.
例7综合练习
1.两类计数原理
(1)从集合中任选三个不同的数字,使这三个数字成等比数列,则这样的等比数列有多少个?
(2)不大于200的正整数中,各个数位上都不含数字5的正整数有多少个?
(3)从中任取不相同的两个数,分别作为对数的底数和真数,能得到多少个不同的对数值?
2.排列
(1)若把单词error中的字母的拼写顺序写错了,则可能出现的错误的种数是.
(2)由数字0,1,2,3,4,5可以组成的无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数有.
(3)把1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的五位数,并把它们从小到大排成一个数列.
1)43251是这个数列的第几项?
2)这个数列的第96项是多少?
(4)从10个不同的歌唱节目中选6个编成一个节目单,如果某著名女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目上,则共有种不同的排法.
(5)把0,1,2,3,4,5,6,7这八个数字组成无重复数字且四个偶数在一起的八位数字有多少种.
(6)从A,B,C,D,E五人中选派四人分别从事甲、乙、丙、丁四项不同工作,其中A,B只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作.则不同选派方案有多少种?
(7)现安排A,B,C,D,E五人参加志愿者服务,每人从事甲、乙、丙、丁四项工作之一,每项工作至少一人参加,A,B不能从事甲工作,但能参加其他工作,其他人能参加任四项工作.则不同的安排方案有多少种?
(8)某班新年联欢会原定的五个节目已经排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中,那么有多少种不同的插法?
(9)6位同学排成三排,每排2人,其中甲不站在前排,乙不站在后排,这样的排法共有多少种?
(10)某天课表共六节课,要排政治、语文、数学、物理、化学、体育共六门课程,如果第一节不排体育,最后一节不排数学,共有多少种排课方法?
3.组合
(1)电影院一排有7把椅子,4个人去做,要求三个空位不相邻,则共有多少种不同坐法?
(2)在0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字中,任取3个奇数和2个偶数排成一个五位数,有多少个?
(3)甲、乙、丙三名同学在课余时间负责一个计算机房周一至周六的值班工作,每天一人值班,每人值班2天,如果甲同学不值周一的班,则可以排除不同的值班表有多少种?
(4)现将甲、乙、丙、丁4人全部安排到A、B、C三个工作岗位上,要求每个工作岗位都有人,并且甲不能在A岗位,则有多少种不同的安排方法?
(5)已知集合,满足这个关系式的集合有多少个?
(6)马路上有8只路灯,为节约用电又不影响正常照明,可把其中的三只关掉,要求关掉的灯不相邻且不是两端的灯,则关灯的方法有多少种?
(7)从1,3,5,7,9中任取三个数字,从0,2,4,6,8中任取两个数字,组成没有重复数字的五位数,共有多少个?
点评:
Ø分类、分步计数原理是根本;
Ø注意各基本模型的特点,准确联想;
Ø向基本模型上转化,注意细微差别;
Ø注重一题多解,发散思维;
第四节二项式定理
例1特殊项讨论(把握“通项”是关键)
(1)已知的展开式中第三项的二项式系数为66,求展开式中含的系数.
(2)若的展开式中前三项的系数成等差数列,求:
1)展开式中的系数;
2)展开式中的有理项;
3)展开式中第三项的系数;
4)展开式的常数项是什么,是第几项.
例2“多项式”展开式和多个二项式展开式的特殊项讨论(多项式“乘法”的过程)
(1)在的展开式中,的系数是多少?
(2)在的展开式中,和项的系数分别是多少?
(3)在的展开式中,的系数是多少?
(4)在的展开式中,的系数是多少?
(5)在的展开式中,的系数是多少?
例3特值法(常取时的特殊值)
(1),求下列各式的值:
1);
2);
3);
4).
(2)设,按的升幂排列,奇数项的系数和为,偶数次项的系数和为,则
1);
2).
例4最大系数问题(大于或等于前后两项)
(1)在的展开式中,
1)求系数最大的项;
2)若,则第几项值最