1、排列、组合与二项式定理第一节 计数原理1. 分类加法计数原理: .2. 分步乘法计数原理: .抽取、分配问题例1:将4封不同的信投入3个不同的信箱中,有多少种投法?1) 将4封不同的信投入5个不同的信箱中,要求每个信箱至多一封信,有多少种投法?2) 将1,2,3,4四个数字填入分别标有1,2,3,4的四个方格中,要求每格填入一个数字,则每个方格中的填入的数字与其所标数字都不相同的填法有多少种?集合与映射(1) 已知集合和集合.1) 分别可以建立多少种从A到B和从B到A的不同映射?2) 可以建立多少个以集合A为定义域,以集合B为值域的不同函数?(2) 设集合,映射,使对任意,都有是奇数,这样的映
2、射有多少种?(3) 已知集合,现取出集合和是的两个子集,使得中最小的数字比中最大的数字大,有多少种不同的取法?(4) 已知集合,映射满足,这样的映射有多少种?点评:把握好“映射”概念的本质:对于集合A中的任何元素在集合B中都有唯一元素和它对应。于是,要确定一个映射,必须给集合A中每一个元素在集合B中确定一个“象”。可根据集合A中元素个数分成card(A)步,每一步“搞定”一个元素,都有card(B)种。所以,共有种。第二节 排列1 排列: .2 排列数: .记作(1) 计算公式:(2) 性质:1) 2) 例1 排列数公式运用(1) 计算; (2)解关于的方程:;(3)证明:; (4)化简:;例
3、2 数字问题(1) 用0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的数:1) 能组成多少个五位数?2) 能组成多少个六位奇数?3) 能组成多少个比20000大的五位偶数?4) 能组成多少个比23145大的五位数?5) 能组成多少个能被5整除的四位数?6) 求所有可能的三位数的总和?(2) 在1,2,3,4的排列中,满足的排列有多少个?例3 排位问题 4个男生和3个女生站成一排,求:(1) (有限制条件的排列问题“优限法”)1) 共有多少种不同排法?2) A,B两人必须站两端的排法数?3) A,B不能站两端的排法数?4) A不站排头,B不站排尾的排法数?5) A站排头或排尾的排法数?6) 两端不全站女
4、生的排法数?7) 两端全不站女生的排法数?(2) 若站成两排,前排3人,后排4人1) 共有多少种不同的排法?2) A,B站前排,C,D站后排的排法数?3) A,B相邻的排法数?4) A,B不相邻的排法数?(3) (“相邻”,“不相邻”问题“捆绑法”和“插空法”)1) A,B相邻的排法数?2) A,B,C相邻的排法数?3) A,B相邻,C,D,E相邻的排法数?4) A,B不相邻的排法数?5) 三名女生互不相邻的排法数?6) A,B相邻,C,D,E不相邻的排法数?7) A在B的左边(相邻或不相邻)的排法数?8) 男生甲不站两端,且恰有两名女生相邻的排法数?第三节 组合1. 组合: .2. 组合数:
5、 .记作.(1) 计算公式:(2) 性质: 例1 组合数公式运用(1) 计算:;.(2) 已知,求.(3) 已知,求.(4) 已知,求.(5) 已知,求.(6) 已知,求.(7) 解不等式:1) .2)例2 组合数性质运用(1) 已知,求的值.(2) 已知,求的值.(3) 已知,求的值.(4) 证明:1)2)3)例3 抽取问题(注意分步引起的重复计数)(1) 从20名足球队员中,选出11名参加比赛,并从11人中选出一人担任守门员.有多少种选取方案?(2) 现有20件产品,其中2件次品,从中任选3件检测:1) 有多少种不同选法?2) 恰有一件是次品的选法有多少种?3) 至少有一件次品的选法有多少
6、种?(3) 现有10件产品,其中4件次品,现一件件地进行检测:1) 次品恰好在第六次全部被检测出来的情况有多少种?2) 前六次检测出两个次品的情况有多少种?(4) 从6双鞋中取出4双,求以下取法各有多少种方法:1) 4只均不成对;2) 4只恰有一对;3) 都是一只脚的.例4 元素相同分组“挡板法”(1) 10本相同的书,分成3堆,每堆至少1本,有多少种分法?(2) 方程有多少组正整数解?(3) 10本相同的书,分成3堆,每堆至少2本,有多少种分法?(4) 将10本相同的书放入四个盒子中,分别放1本、2本、3本、4本,有多少种放法?例5 不同元素分组或分配(分组后全排列)问题(1) (分组防止重
7、复)将6本不同的书,分成3组:1) 若平均分成3组,有几种不同分法?2) 若分成1本、2本、3本三组,有几种不同分法?3) 若分成1本、1本、4本三组,有几种不同分法?(2) (分配)将6本不同的书分给甲、乙、丙三个人:1) 甲、乙、丙三人各2本书,有几种不同分法? 2) 若甲1本、乙2本、丙3本,有几种不同分法?3) 若分给3人分别1本、2本、3本,有几种不同分法?4) 若甲1本、乙1本、丙4本,有几种不同分法?5) 若分给3人分别1本、1本、4本,有几种不同分法?例6 几何背景问题(1) 直线和直线上分别有四个点和五个点,以这些点为顶点作三角形,这样的三角形共有多少个?(2) 在连接正八边
8、形的三个顶点构成的三角形中,与正八边形没有公共边的三角形有多少个?(3) 正六边形的中心和顶点共7个点,以其中三个点为顶点的三角形有多少个?(4) 角,边上有四个不同的点,边上有三个不同的点,以这七个点和点中的三个为顶点,可以确定多少个不同的三角形?(5) 平面内有10个点,其中仅有4点共线,其余任意3点不共线1) 以这些点为顶点可构成多少个不同的三角形?2) 有这些点可以确定多少条不同的直线?(6) 正方体八个顶点中:1) 以其中的的三个为顶点,可以得到多少个不同的四面体?可以得到多少个正四面体?2) 由其中的两个顶点确定的直线中,有多少对异面直线?(7) 用正五棱柱的10个顶点中的五个顶点
9、作四棱柱的顶点,共可得到多少个不同的四棱柱?(8) (最短路径问题)对型方格,最短路径数是.例7 综合练习1. 两类计数原理(1) 从集合中任选三个不同的数字,使这三个数字成等比数列,则这样的等比数列有多少个?(2) 不大于200的正整数中,各个数位上都不含数字5的正整数有多少个?(3) 从中任取不相同的两个数,分别作为对数的底数和真数,能得到多少个不同的对数值?2. 排列(1) 若把单词error中的字母的拼写顺序写错了,则可能出现的错误的种数是 .(2) 由数字0,1,2,3,4,5可以组成的无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数有 .(3) 把1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的
10、五位数,并把它们从小到大排成一个数列.1) 43251是这个数列的第几项?2) 这个数列的第96项是多少?(4) 从10个不同的歌唱节目中选6个编成一个节目单,如果某著名女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目上,则共有 种不同的排法.(5) 把0,1,2,3,4,5,6,7这八个数字组成无重复数字且四个偶数在一起的八位数字有多少种.(6) 从A,B,C,D,E五人中选派四人分别从事甲、乙、丙、丁四项不同工作,其中A,B只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作.则不同选派方案有多少种?(7) 现安排A,B,C,D,E五人参加志愿者服务,每人从事甲、乙、丙、丁四项工作之一,每项工作至少一人参
11、加,A,B不能从事甲工作,但能参加其他工作,其他人能参加任四项工作.则不同的安排方案有多少种?(8) 某班新年联欢会原定的五个节目已经排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中,那么有多少种不同的插法?(9) 6位同学排成三排,每排2人,其中甲不站在前排,乙不站在后排,这样的排法共有多少种?(10) 某天课表共六节课,要排政治、语文、数学、物理、化学、体育共六门课程,如果第一节不排体育,最后一节不排数学,共有多少种排课方法?3. 组合(1) 电影院一排有7把椅子,4个人去做,要求三个空位不相邻,则共有多少种不同坐法?(2) 在0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个
12、数字中,任取3个奇数和2个偶数排成一个五位数,有多少个?(3) 甲、乙、丙三名同学在课余时间负责一个计算机房周一至周六的值班工作,每天一人值班,每人值班2天,如果甲同学不值周一的班,则可以排除不同的值班表有多少种?(4) 现将甲、乙、丙、丁4人全部安排到A、B、C三个工作岗位上,要求每个工作岗位都有人,并且甲不能在A岗位,则有多少种不同的安排方法?(5) 已知集合,满足这个关系式的集合有多少个?(6) 马路上有8只路灯,为节约用电又不影响正常照明,可把其中的三只关掉,要求关掉的灯不相邻且不是两端的灯,则关灯的方法有多少种?(7) 从1,3,5,7,9中任取三个数字,从0,2,4,6,8中任取两
13、个数字,组成没有重复数字的五位数,共有多少个?点评: 分类、分步计数原理是根本; 注意各基本模型的特点,准确联想; 向基本模型上转化,注意细微差别; 注重一题多解,发散思维;第四节 二项式定理例1 特殊项讨论(把握“通项”是关键)(1) 已知的展开式中第三项的二项式系数为66,求展开式中含的系数.(2) 若的展开式中前三项的系数成等差数列,求:1) 展开式中的系数;2) 展开式中的有理项;3) 展开式中第三项的系数;4) 展开式的常数项是什么,是第几项.例2 “多项式”展开式和多个二项式展开式的特殊项讨论(多项式“乘法”的过程)(1) 在的展开式中,的系数是多少?(2) 在的展开式中,和项的系数分别是多少?(3) 在的展开式中,的系数是多少?(4) 在的展开式中,的系数是多少?(5) 在的展开式中,的系数是多少?例3 特值法(常取时的特殊值)(1) ,求下列各式的值:1) ;2) ;3) ;4) .(2) 设,按的升幂排列,奇数项的系数和为,偶数次项的系数和为,则1) ;2) .例4 最大系数问题(大于或等于前后两项)(1) 在的展开式中,1) 求系数最大的项;2) 若,则第几项值最
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