排列与组合.版块七.排列组合问题的常用方法总结1.学生版.doc

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排列组合问题的常用方法总结1

知识内容

1．基本计数原理

⑴加法原理

分类计数原理：

做一件事，完成它有类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种方法，……，在第类办法中有种不同的方法．那么完成这件事共有种不同的方法．又称加法原理．

⑵乘法原理

分步计数原理：

做一件事，完成它需要分成个子步骤，做第一个步骤有种不同的方法，做第二个步骤有种不同方法，……，做第个步骤有种不同的方法．那么完成这件事共有种不同的方法．又称乘法原理．

⑶加法原理与乘法原理的综合运用

如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．

分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用．

2．排列与组合

⑴排列：

一般地，从个不同的元素中任取个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）

排列数：

从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示．

排列数公式：

，，并且．

全排列：

一般地，个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素的一个全排列．

的阶乘：

正整数由到的连乘积，叫作的阶乘，用表示．规定：

．

⑵组合：

一般地，从个不同元素中，任意取出个元素并成一组，叫做从个元素中任取个元素的一个组合．

组合数：

从个不同元素中，任意取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中，任意取出个元素的组合数，用符号表示．

组合数公式：

，，并且．

组合数的两个性质：

性质1：

；性质2：

．（规定）

⑶排列组合综合问题

解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：

1．特殊元素、特殊位置优先法

元素优先法：

先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；

位置优先法：

先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；

2．分类分步法：

对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．

3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．

4．捆绑法：

某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．

5．插空法：

某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．

6．插板法：

个相同元素，分成组，每组至少一个的分组问题——把个元素排成一排，从个空中选个空，各插一个隔板，有．

7．分组、分配法：

分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成堆（组），必须除以！

，如果有堆（组）元素个数相等，必须除以！

8．错位法：

编号为1至的个小球放入编号为1到的个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．

1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：

①元素分析法：

以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；

②位置分析法：

以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；

③间接法：

先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．

求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．

2．具体的解题策略有：

①对特殊元素进行优先安排；

②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；

③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；

④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法；

⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；

⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．

⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．

典例分析

直接法

（优先考虑特殊元素特殊位置，特殊元素法，特殊位置法，直接分类讨论）

【例1】从名外语系大学生中选派名同学参加广州亚运会翻译、交通、礼仪三项义工活动，要求翻译有人参加，交通和礼仪各有人参加，则不同的选派方法共有．

【例2】北京《财富》全球论坛期间，某高校有名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为

A．B．C．D．

【例3】在平面直角坐标系中，轴正半轴上有个点，轴正半轴有个点，将轴上这个点和轴上这个点连成条线段，这条线段在第一象限内的交点最多有（）

A．个B．个C．个D．个

【例4】一个口袋内有个不同的红球，个不同的白球，

⑴从中任取个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？

⑵若取一个红球记分，取一个白球记分，从中任取个球，使总分不少于分的取法有多少种？

【例5】一个口袋内装有大小相同的个白球和个黑球．

⑴从口袋内取出个球，共有多少种取法？

⑵从口袋内取出个球，使其中含有个黑球，有多少种取法？

⑶从口袋内取出个球，使其中不含黑球，有多少种取法？

【例6】有名划船运动员，其中人只会划左舷，人只会划右舷，其余人既会划左舷也会划右舷．从这名运动员中选出人平均分在左、右舷划船参加比赛，有多少种不同的选法？

【例7】若，则，就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（）

A．B．C．D．

【例8】从名女生，名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为______．

A． B． C． D．

【例9】某城市街道呈棋盘形，南北向大街条，东西向大街条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少种．

【例10】某幢楼从二楼到三楼的楼梯共级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用步走完，则上楼梯的方法有______种．

【例11】亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程有多少种？

【例12】设含有个元素的集合的全部子集数为，其中由个元素组成的子集数为，则的值为（）

A．B．C．D．

【例13】设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿轴跳动，每次向正方向或负方向跳动一个单位，经过次跳动质点落在点（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法种数为　　　　　．

【例14】从名男同学，名女同学中选名参加体能测试，则选到的名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有________种（用数字作答）

【例15】在的边上有四点，边上有共个点，连结线段，如果其中两条线段不相交，则称之为一对“和睦线”，和睦线的对数共有：

（）

A．B．C．D．

【例16】从7名男生5名女生中，选出5人，分别求符合下列条件的选法种数有多少种？

⑴、必须当选；

⑵、都不当选；

⑶、不全当选；

⑷至少有2名女生当选；

⑸选出5名同学，让他们分别担任体育委员、文娱委员等5种不同工作，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任．

【例17】甲组有名男同学，名女同学；乙组有名男同学、名女同学．若从甲、乙两组中各选出名同学，则选出的人中恰有名女同学的不同选法共有（）

A．种 B．种 C．种 D．种

【例18】从名大学毕业生中选人担任村长助理，则甲、乙至少有人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（）

A．B．C． D．

【例19】某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（）

A． B． C． D．

【例20】要从个人中选出个人去参加某项活动，其中甲乙必须同时参加或者同时不参加，问共有多少种不同的选法？

【例21】有四个停车位，停放四辆不同的车，有几种不同的停法？

若其中的一辆车必须停放在两边的停车位上，共有多少种不同的停法？

【例22】某班5位同学参加周一到周五的值日，每天安排一名学生，其中学生甲只能安排到周一或周二，学生乙不能安排在周五，则他们不同的值日安排有（）

A．288种 B．72种 C．42种 D．36种

【例23】某班有名男生，名女生，现要从中选出人组成一个宣传小组，其中男、女学生均不少于人的选法为（）

A．B．

C．D．

【例24】用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个

⑴数字1不排在个位和千位

⑵数字1不在个位，数字6不在千位．

【例25】甲、乙、丙、丁、戊名学生进行讲笑话比赛，决出了第一到第五的名次，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：

“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：

“你当然不会是最差的”．从这个回答分析，人的名次排列共有_______（用数字作答）种不同情况．

【例26】某高校外语系有名奥运会志愿者，其中有名男生，名女生，现从中选人参加某项“好运北京”测试赛的翻译工作，若要求这人中既有男生，又有女生，则不同的选法共有（）

A．种 B．种 C．种 D．种

【例27】用5，6，7，8，9组成没有重复数字的五位数，其中恰好有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数为（）

A． B． C． D．

【例28】某电视台连续播放个不同的广告，其中有个不同的商业广告和个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且两个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有（）

A．种B．种C．种D．种

【例29】从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，

要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中，甲、乙两人不去