指数函数习题(含答案).doc

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指数函数习题

一、选择题

1．（2011·济南模拟）定义运算a⊗b＝，则函数f（x）＝1⊗2x的图象大致为（　　）

2．函数f（x）＝x2－bx＋c满足f（1＋x）＝f（1－x）且f（0）＝3，则f（bx）与f（cx）的大小关系是（　　）

A．f（bx）≤f（cx）

B．f（bx）≥f（cx）

C．f（bx）>f（cx）

D．大小关系随x的不同而不同

3．函数y＝|2x－1|在区间（k－1，k＋1）内不单调，则k的取值范围是（　　）

A．（－1，＋∞） B．（－∞，1）

C．（－1,1） D．（0,2）

4．设函数f（x）＝ln[（x－1）（2－x）]的定义域是A，函数g（x）＝lg（－1）的定义域是B，若A⊆B，则正数a的取值范围（　　）

A．a>3 B．a≥3

C．a> D．a≥

5．已知函数f（x）＝若数列{an}满足an＝f（n）（n∈N*），且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是（　　）

A．[，3） B．（，3）

C．（2,3） D．（1,3）

6．（2011·龙岩模拟）已知a>0且a≠1，f（x）＝x2－ax，当x∈（－1,1）时，均有f（x）<，则实数a的取值范围是（　　）

A．（0，]∪[2，＋∞） B．[，1）∪（1,4]

C．[，1）∪（1,2] D．（0，）∪[4，＋∞）

二、填空题

7．函数y＝ax（a>0，且a≠1）在[1,2]上的最大值比最小值大，则a的值是________．

8．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．

9．（2011·滨州模拟）定义：

区间[x1，x2]（x1

三、解答题

10．求函数y＝的定义域、值域和单调区间．

11．（2011·银川模拟）若函数y＝a2x＋2ax－1（a>0且a≠1）在x∈[－1,1]上的最大值为14，求a的值．

12．已知函数f（x）＝3x，f（a＋2）＝18，g（x）＝λ·3ax－4x的定义域为[0,1]．

（1）求a的值；

（2）若函数g（x）在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．

1.解析：

由a⊗b＝得f（x）＝1⊗2x＝

答案：

A

2.解析：

∵f（1＋x）＝f（1－x），∴f（x）的对称轴为直线x＝1，由此得b＝2.

又f（0）＝3，∴c＝3.∴f（x）在（－∞，1）上递减，在（1，＋∞）上递增．

若x≥0，则3x≥2x≥1，∴f（3x）≥f（2x）．

若x<0，则3x<2x<1，∴f（3x）>f（2x）．

∴f（3x）≥f（2x）．

答案：

A

3.解析：

由于函数y＝|2x－1|在（－∞，0）内单调递减，在（0，＋∞）内单调递增，而函数在区间（k－1，k＋1）内不单调，所以有k－1<0

答案：

C

4.解析：

由题意得：

A＝（1,2），ax－2x>1且a>2，由A⊆B知ax－2x>1在（1,2）上恒成立，即ax－2x－1>0在（1,2）上恒成立，令u（x）＝ax－2x－1，则u′（x）＝axlna－2xln2>0，所以函数u（x）在（1,2）上单调递增，则u（x）>u

（1）＝a－3，即a≥3.

答案：

B

5.解析：

数列{an}满足an＝f（n）（n∈N*），则函数f（n）为增函数，

注意a8－6>（3－a）×7－3，所以，解得2

答案：

C

6.解析：

f（x）<⇔x2－ax<⇔x2－

当a>1时，必有a－1≥，即1

当0

综上，≤a<1或1

答案：

C

7.解析：

当a>1时，y＝ax在[1,2]上单调递增，故a2－a＝，得a＝.当0

答案：

或

8.解析：

分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围．

曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得：

如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．

答案：

[－1,1]

9.解析：

如图满足条件的区间[a，b]，当a＝－1，b＝0或a＝0，b＝1时区间长度最小，最小值为1，当a＝－1，b＝1时区间长度最大，最大值为2，故其差为1.

答案：

1

10.解：

要使函数有意义，则只需－x2－3x＋4≥0，即x2＋3x－4≤0，解得－4≤x≤1.

∴函数的定义域为{x|－4≤x≤1}．

令t＝－x2－3x＋4，则t＝－x2－3x＋4＝－（x＋）2＋，

∴当－4≤x≤1时，tmax＝，此时x＝－，tmin＝0，此时x＝－4或x＝1.

∴0≤t≤.∴0≤≤.

∴函数y＝的值域为[，1]．

由t＝－x2－3x＋4＝－（x＋）2＋（－4≤x≤1）可知，

当－4≤x≤－时，t是增函数，

当－≤x≤1时，t是减函数．

根据复合函数的单调性知：

y＝在[－4，－]上是减函数，在[－，1]上是增函数．

∴函数的单调增区间是[－，1]，单调减区间是[－4，－]．

11.解：

令ax＝t，∴t>0，则y＝t2＋2t－1＝（t＋1）2－2，其对称轴为t＝－1.该二次函数在[－1，＋∞）上是增函数．

①若a>1，∵x∈[－1,1]，∴t＝ax∈[，a]，故当t＝a，即x＝1时，ymax＝a2＋2a－1＝14，解得a＝3（a＝－5舍去）．

②若0

∴t＝ax∈[a，]，故当t＝，即x＝－1时，

ymax＝（＋1）2－2＝14.

∴a＝或－（舍去）．

综上可得a＝3或.

12.解：

法一：

（1）由已知得3a＋2＝18⇒3a＝2⇒a＝log32.

（2）此时g（x）＝λ·2x－4x，

设0≤x1

因为g（x）在区间[0,1]上是单调减函数，

所以g（x1）－g（x2）＝（2x1－2x2）（λ－2x2－2x1）>0恒成立，即λ<2x2＋2x1恒成立．

由于2x2＋2x1>20＋20＝2，

所以实数λ的取值范围是λ≤2.

法二：

（1）同法一．

（2）此时g（x）＝λ·2x－4x，

因为g（x）在区间[0,1]上是单调减函数，

所以有g′（x）＝λln2·2x－ln4·4x＝ln2[－2·（2x）2＋λ·2x]≤0成立．

设2x＝u∈[1,2]，上式成立等价于－2u2＋λu≤0恒成立．

因为u∈[1,2]，只需λ≤2u恒成立，

所以实数λ的取值范围是λ≤2.