指数、对数、幂函数对比.doc
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指数函数
概念:
一般地,函数y=a^x(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是R。
注意:
⒈指数函数对外形要求严格,前系数要为1,否则不能为指数函数。
⒉指数函数的定义仅是形式定义。
指数函数的图像与性质:
规律:
1.当两个指数函数中的a互为倒数时,两个函数关于y轴对称,但这两个函数都不具有奇偶性。
2.当a>1时,底数越大,图像上升的越快,在y轴的右侧,图像越靠近y轴;
当0<a<1时,底数越小,图像下降的越快,在y轴的左侧,图像越靠近y轴。
在y轴右边“底大图高”;在y轴左边“底大图低”。
3.四字口诀:
“大增小减”。
即:
当a>1时,图像在R上是增函数;当0<a<1时,图像在R上是减函数。
4.指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
比较幂式大小的方法:
1.当底数相同时,则利用指数函数的单调性进行比较;
2.当底数中含有字母时要注意分类讨论;
3.当底数不同,指数也不同时,则需要引入中间量进行比较;
4.对多个数进行比较,可用0或1作为中间量进行比较
底数的平移:
在指数上加上一个数,图像会向左平移;减去一个数,图像会向右平移。
在f(X)后加上一个数,图像会向上平移;减去一个数,图像会向下平移。
对数函数
1.对数函数的概念
由于指数函数y=ax在定义域(-∞,+∞)上是单调函数,所以它存在反函数,
我们把指数函数y=ax(a>0,a≠1)的反函数称为对数函数,并记为y=logax(a>0,a≠1).
因为指数函数y=ax的定义域为(-∞,+∞),值域为(0,+∞),所以对数函数y=logax的定义域为(0,+∞),值域为(-∞,+∞).
2.对数函数的图像与性质
对数函数与指数函数互为反函数,因此它们的图像对称于直线y=x.据此即可以画出对数函数的图像,并推知它的性质.
为了研究对数函数y=logax(a>0,a≠1)的性质,我们在同一直角坐标系中作出函数
y=log2x,y=log10x,y=log10x,y=logx,y=logx的草图
由草图,再结合指数函数的图像和性质,可以归纳、分析出对数函数y=logax(a>0,a≠1)的图像的特征和性质.见下表.
]
图
象
a>1
a<1
性
质
(1)x>0
(2)当x=1时,y=0
(3)当x>1时,y>0
0<x<1时,y<0
(3)当x>1时,y<0
0<x<1时,y>0
(4)在(0,+∞)上是增函数
(4)在(0,+∞)上是减函数
补充
性质
设y1=logaxy2=logbx其中a>1,b>1(或0<a<10<b<1)
当x>1时“底大图低”即若a>b则y1>y2
当0<x<1时“底大图高”即若a>b,则y1>y2
比较对数大小的常用方法有:
(1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断.
(2)若底数为同一字母,则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.
(3)若底数不同、真数相同,则可用换底公式化为同底再进行比较.
(4)若底数、真数都不相同,则常借助1、0、-1等中间量进行比较.
3.指数函数与对数函数对比
名称
指数函数
对数函数
一般形式
y=ax(a>0,a≠1)
y=logax(a>0,a≠1)
定义域
(-∞,+∞)
(0,+∞)
值域
(0,+∞)
(-∞,+∞)
函
数
值
变
化
情
况
当a>1时,
当0<a<1时,
当a>1时
当0<a<1时,
单调性
当a>1时,ax是增函数;
当0<a<1时,ax是减函数.
当a>1时,logax是增函数;
当0<a<1时,logax是减函数.
图像
y=ax的图像与y=logax的图像关于直线y=x对称.
幂函数
幂函数的图像与性质
幂函数随着的不同,定义域、值域都会发生变化,可以采取按性质和图像分类记忆的方法.熟练掌握,当的图像和性质,列表如下.
从中可以归纳出以下结论:
①它们都过点,除原点外,任何幂函数图像与坐标轴都不相交,任何幂函数图像都不过第四象限.
②时,幂函数图像过原点且在上是增函数.
③时,幂函数图像不过原点且在上是减函数.
④任何两个幂函数最多有三个公共点.
奇函数
偶函数
非奇非偶函数
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
定义域
R
R
R
奇偶性
奇
奇
奇
非奇非偶
奇
在第Ⅰ象限的增减性
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递减
幂函数(R,是常数)的图像在第一象限的分布规律是:
①所有幂函数(R,是常数)的图像都过点;
②当时函数的图像都过原点;
③当时,的的图像在第一象限是第一象限的平分线(如);
④当时,的的图像在第一象限是“凹型”曲线(如)
⑤当时,的的图像在第一象限是“凸型”曲线(如)
⑥当时,的的图像不过原点,且在第一象限是“下滑”曲线(如)
当时,幂函数有下列性质:
(1)图象都通过点;
(2)在第一象限内都是增函数;
(3)在第一象限内,时,图象是向下凸的;时,图象是向上凸的;
(4)在第一象限内,过点后,图象向右上方无限伸展。
当时,幂函数有下列性质:
(1)图象都通过点;
(2)在第一象限内都是减函数,图象是向下凸的;
(3)在第一象限内,图象向上与轴无限地接近;向右无限地与轴无限地接近;
(4)在第一象限内,过点后,越大,图象下落的速度越快。
无论取任何实数,幂函数的图象必然经过第一象限,并且一定不经过第四象限。
对号函数
函数(a>0,b>0)叫做对号函数,因其在(0,+∞)的图象似符号“√”而得名,利用对号函数的图象及均值不等式,当x>0时,(当且仅当即时取等号),由此可得函数(a>0,b>0,x∈R+)的性质:
当时,函数(a>0,b>0,x∈R+)有最小值,特别地,当a=b=1时函数有最小值2。
函数(a>0,b>0)在区间(0,)上是减函数,在区间(,+∞)上是增函数。
因为函数(a>0,b>0)是奇函数,所以可得函数(a>0,b>0,x∈R-)的性质:
当时,函数(a>0,b>0,x∈R-)有最大值-,特别地,当a=b=1时函数有最大值-2。
函数(a>0,b>0)在区间(-∞,-)上是增函数,在区间(-,0)上是减函数。