抛物线提高训练题(含详细答案).doc
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A 抛物线
1.抛物线y2=-8x的焦点坐标是( )
A.(2,0)B.(-2,0)
C.(4,0)D.(-4,0)
2.设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a≠0)的焦点F,且和y轴交于点A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线的方程为( )
A.y2=±4xB.y2=±8x
C.y2=4xD.y2=8x
3.已知直线l1:
4x-3y+6=0和直线l2:
x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )
A.2B.3
C.D.
4.点A,B在抛物线x2=2py(p>0)上,若A,B的中点是(x0,y0),当直线AB的斜率存在时,其斜率为( )
A.B.
C.D.
5.[2010·福建卷]以抛物线y2=4x的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )
A.x2+y2+2x=0B.x2+y2+x=0
C.x2+y2-x=0D.x2+y2-2x=0
6.[2010·山东卷]已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为( )
A.x=1B.x=-1
C.x=2D.x=-2
7.[2010·陕西卷]已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆x2+y2-6x-7=0相切,则p的值为( )
A.B.1C.2D.4
8.[2010·辽宁卷]设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.如果直线AF的斜率为-,那么|PF|=( )
A.4B.8
C.8D.16
9.[2011·东北三校模拟]已知抛物线y=ax2的准线方程为y=1,则a的值为________.
10.[2010·浙江卷]设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上,则B到该抛物线准线的距离为________.
11.给定抛物线C:
y2=4x,过点A(-1,0),斜率为k的直线与C相交于M,N两点,若线段MN的中点在直线x=3上,则k=________.
12.(13分)[2011·西城一模]已知抛物线y2=4x的焦点为F,直线l过点M(4,0).
(1)若点F到直线l的距离为,求直线l的斜率;
(2)设A,B为抛物线上两点,且直线AB不与x轴垂直,若线段AB的垂直平分线恰好过点M,求证:
线段AB中点的横坐标为定值.
13.(12分)[2011·西城一模]已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线交y轴正半轴于点P,交抛物线于A,B两点,其中点A在第一象限.
(1)求证:
以线段FA为直径的圆与y轴相切;
(2)若=λ1,=λ2,∈,求λ2的取值范围.
B 抛物线
1.若点P(x,y)到点F(0,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2,则P(x,y)的轨迹方程为( )
A.y2=8xB.y2=-8x
C.x2=8yD.x2=-8y
2.抛物线x2=(2a-1)y的准线方程是y=1,则实数a=( )
A.B.C.-D.-
3.已知抛物线y2=4x,若过焦点F且垂直于对称轴的直线与抛物线交于A,B两点,O是坐标原点,则△OAB的面积是( )
A.1B.2C.4D.6
4.对于抛物线y2=4x上任意一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是( )
A.(-∞,0)B.(-∞,2]
C.[0,2]D.(0,2)
5.已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点,O是原点,若|OA|=|OB|,且△AOB的垂心恰好是抛物线的焦点,则直线AB的方程是( )
A.x=pB.x=3p
C.x=pD.x=p
6.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)均在抛物线上,且2x2=x1+x3,则有( )
A.|FP1|+|FP2|=|FP3|
B.|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2
C.2|FP2|=|FP1|+|FP3|
D.|FP2|2=|FP1|·|FP3|
7.已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
A.B.3
C.D.
8.已知抛物线C:
y2=8x的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点A在C上且|AK|=|AF|,则△AFK的面积为( )
A.4B.8
C.16D.32
9.已知抛物线C的顶点坐标为原点,焦点在x轴上,直线y=x与抛物线C交于A,B两点,若P(2,2)为AB的中点,则抛物线C的方程为________.
10.[2010·全国卷Ⅱ]已知抛物线C:
y2=2px(p>0)的准线为l,过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A,与C的一个交点为B.若=,则p=________.
11.[2010·重庆卷]已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足=3,则弦AB的中点P到准线的距离为________.
12.(13分)[2012·珠海模拟]在平面直角坐标系xOy中,设点F,直线l:
x=-,点P在直线l上移动,R是线段PF与y轴的交点,RQ⊥FP,PQ⊥l.
(1)求动点Q的轨迹方程C;
(2)设圆M过A(1,0),且圆心M在曲线C上,TS是圆M在y轴上截得的弦,当M运动时,弦长|TS|是否为定值?
请说明理由.
图K50-1
13.(12分)[2010·湖北卷]已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.
(1)求曲线C的方程;
(2)是否存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有·<0?
若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
A
1.B [解析]由y2=-8x,易知焦点坐标是(-2,0).
2.B [解析]抛物线y2=ax(a≠0)的焦点F坐标为,则直线l的方程为y=2,它与y轴的交点为A,所以△OAF的面积为·=4,解得a=±8.所以抛物线方程为y2=±8x.
3.A [解析]设动点p到直线l2的距离之和为d,直线l2:
x=-1为抛物线y2=4x的准线,由抛物线的定义知,P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离,故本题转化为在抛物线y2=4x上找一个点P使得P到点F(1,0)和直线l2的距离之和最小,最小值为F(1,0)到直线l1:
4x-3y+6=0的距离,即dmin==2.
4.D [解析]设A(x1,y1),B(x2,y2),则x=2py1,x=2py2,两式相减得(x1+x2)(x1-x2)=2p(y1-y2),即kAB===.
5.D [解析]因为已知抛物线的焦点坐标为(1,0),即所求圆的圆心.又知该圆过原点,所以圆的半径为r=1,故所求圆的方程为(x-1)2+y2=1,即x2-2x+y2=0.
6.B [解析]抛物线的焦点F,所以过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-,即x=y+,
将其代入y2=2px,得y2-2py-p2=0,
所以=p=2,所以抛物线方程为y2=4x,
准线方程为x=-1.
7.C [解析]方法1:
∵抛物线的准线方程为x=-,圆的标准方程为(x-3)2+y2=16.
∴3-=4,∴p=2.
方法2:
作图可知,抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切于点(-1,0),所以-=-1,解得p=2.
8.B [解析]设准线l与x轴交于点B,连接AF、PF,则|BF|=p=4,∵直线AF的斜率为-,∴∠AFB=60°.在Rt△ABF中,|AF|==8.又根据抛物线的定义,得|PA|=|PF|,PA∥BF,∴∠PAF=60°,∴△PAF为等边三角形,故|PF|=|AF|=8.
9.- [解析]抛物线方程为x2=y,故其准线方程是y=-=1,解得a=-.
10. [解析]设抛物线的焦点F,由B为线段FA的中点,所以B,代入抛物线方程得p=,则B到该抛物线准线的距离为+==.
11.± [解析]过点A(-1,0),斜率为k的直线为y=k(x+1),与抛物线方程联立后消掉y得k2x2+(2k2-4)x+k2=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),有x1+x1=,x1x2=1.
因为线段MN的中点在直线x=3上,所以x1+x2=6,即=6,解得k=±.
而此时k2x2+(2k2-4)x+k2=0的判别式大于零,所以k=±.
12.[解答]
(1)由已知,x=4不合题意.设直线l的方程为y=k(x-4).由已知,抛物线C的焦点坐标为(1,0),因为点F到直线l的距离为,所以=,
解得k=±,所以直线l的斜率为±.
(2)证明:
设线段AB中点的坐标为N(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),则直线MN的斜率为,因为AB不垂直于x轴,所以直线AB的斜率为,
直线AB的方程为y-y0=(x-x0),
联立方程
消去x,得y2-y0y+y+x0(x0-4)=0,
所以y1+y2=,
因为N为AB中点,所以=y0,即=y0,
所以x0=2,即线段AB中点的横坐标为定值2.
13.[解答]
(1)证明:
由已知F,设A(x1,y1),
则y=2px1,
圆心坐标为,圆心到y轴的距离为,
圆的半径为=×=,
所以,以线段FA为直径的圆与y轴相切.
(2)解法一:
设P(0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),
由=λ1,=λ2,得
=λ1(-x1,y0-y1),
=λ2,
所以x1-=-λ1x1,y1=λ1(y0-y1),
-x2=λ2,y2=-λ2y1,
由y2=-λ2y1,得y=λy.
又y=2px1,y=2px2,
所以x2=λx1.
代入-x2=λ2,得-λx1=λ2,(1+λ2)=x1λ2(1+λ2),
整理得x1=,
代入x1-=-λ1x1,得-=-,
所以=1-,
因为∈,所以λ2的取值范围是.
解法二:
设A(x1,y1),B(x2,y2),AB:
x=my+,
将x=my+代入y2=2px,得y2-2pmy-p2=0,
所以y1y2=-p2(*).
由=λ1,=λ2,得
=λ1(-x1,y0-y1),
=λ2,
所以x1-=-λ1x1,y1=λ1(y0-y1),
-x2=λ2,y2=-λ2y1,
将y2=-λ2y1代入(*)式,得y=,
所以2px1=,x1=.
代入x1-=-λ1x1,得=1-,
因为∈,所以λ2的取值范围是.
B
1.C [解析]点P(x,y)到点F(0,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2,说明点P(x,y)到点F(0,2)的距离与到直线y+2=0即y=-2的距离相等,轨迹为抛物线,其中p=4,故所求的抛物线方程为x2=8y.
2.D [解析]根据分析把抛物线方程化为x2=-2y,则焦参数p=-a,故抛物线的准线方程是y==,则=1,解得a=-.
3.B [解析]焦点坐标是(1,0),A(1,2),B(1,-2),|AB|=4,故△OAB的面积S=|AB||OF|=×4×1=2.
4.B [解析]设点Q的坐标为,由|PQ|≥|a|,得y+2≥a2,整理,得y(y+16-8a)≥0,∵y≥0,∴y+16-8a≥0,即a≤2+恒成立.而2+的最小值为2,所以a≤2.
5.D [解析]A(x0,y0),则B(x0,-y0),由于焦点F,0是抛物线的垂心,所以OA⊥B