抛物线专题复习讲义及练习.(解析版)doc.doc

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抛物线专题复习讲义及练习

1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质（）：

标准方程

图形

焦点

准线

范围

对称轴

轴

轴

顶点

（0，0）

离心率

2.抛物线的焦半径、焦点弦

①的焦半径;的焦半径；

②过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p.

③AB为抛物线的焦点弦，则，，=

3.的参数方程为（为参数），的参数方程为（为参数）.

考点1抛物线的定义

题型利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换

[例1]已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为

【解题思路】将点P到焦点的距离转化为点P到准线的距离

[解析]过点P作准线的垂线交准线于点R，由抛物线的定义知，，当P点为抛物线与垂线的交点时，取得最小值，最小值为点Q到准线的距离,因准线方程为x=-1,故最小值为3

【名师指引】灵活利用抛物线的定义，就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换，一般来说,用定义问题都与焦半径问题相关

【新题导练】

1.已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且、、成等差数列，则有（　　）

A． B．

C． D.

［解析］C由抛物线定义，即：

．

2.已知点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点,当最小时,

M点坐标是（）

A.B.C.D.

[解析]设M到准线的距离为,则，当最小时，M点坐标是，选C

考点2抛物线的标准方程

题型:

求抛物线的标准方程

[例2]求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：

（1）过点（-3,2）

（2）焦点在直线上

【解题思路】以方程的观点看待问题，并注意开口方向的讨论.

[解析]

（1）设所求的抛物线的方程为或,

∵过点（-3,2）∴

∴

∴抛物线方程为或,

前者的准线方程是后者的准线方程为

（2）令得，令得，

∴抛物线的焦点为（4,0）或（0,-2）,当焦点为（4,0）时,

∴，此时抛物线方程;焦点为（0,-2）时

∴，此时抛物线方程.

∴所求抛物线方程为或,对应的准线方程分别是.

【名师指引】对开口方向要特别小心，考虑问题要全面

【新题导练】

3.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值

[解析]

4.对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：

①焦点在y轴上；

②焦点在x轴上；

③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；

④抛物线的通径的长为5；

⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）.

能使这抛物线方程为y2=10x的条件是____________.（要求填写合适条件的序号）

[解析]用排除法，由抛物线方程y2=10x可排除①③④，从而②⑤满足条件.

5.若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与Y轴的交点，A为抛物线上一点,且，求此抛物线的方程

[解析]设点是点在准线上的射影，则，由勾股定理知，点A的横坐标为，代入方程得或4，抛物线的方程或

考点3抛物线的几何性质

题型：

有关焦半径和焦点弦的计算与论证

[例3]设A、B为抛物线上的点,且（O为原点）,则直线AB必过的定点坐标为__________.

【解题思路】由特殊入手，先探求定点位置

［解析］设直线OA方程为,由解出A点坐标为

解出B点坐标为，直线AB方程为,令得，直线AB必过的定点

【名师指引】

（1）由于是填空题，可取两特殊直线AB,求交点即可；

（2）B点坐标可由A点坐标用换k而得。

【新题导练】

6.若直线经过抛物线的焦点，则实数

[解析]-1

7.过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点A、B,若A、B在抛物线准线上的射影为,则（）

A.B.C.D.

[解析]C

基础巩固训练

1.过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于，则这样的直线（）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.1条或2条D.不存在

[解析]C，而通径的长为4．

2.在平面直角坐标系中，若抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为5，则点P的纵坐标为　（　　）

A.3B.4C.5D.6

[解析]B利用抛物线的定义，点P到准线的距离为5，故点P的纵坐标为4．

3.两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且则抛物线的焦点坐标为（）

A．B．C．D．

[解析]D.

4.如果，，…，是抛物线上的点，它们的横坐标依次为，，…，，F是抛物线的焦点，若成等差数列且，则=（）．

A．5B．6C．7D．9

[解析]B根据抛物线的定义，可知（，2，……，n），成等差数列且,,=6

5、抛物线准线为l，l与x轴相交于点E，过F且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AB⊥l，垂足为B，则四边形ABEF的面积等于（）

A． B． C． D．

[解析]C.过A作x轴的垂线交x轴于点H，设，则，

四边形ABEF的面积=

6、设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为．

[解析].

过A作轴于D，令，则即，解得．

综合提高训练

7.在抛物线上求一点，使该点到直线的距离为最短，求该点的坐标

[解析]解法1：

设抛物线上的点，

点到直线的距离，

当且仅当时取等号，故所求的点为

解法2：

当平行于直线且与抛物线相切的直线与抛物线的公共点为所求，设该直线方程为，代入抛物线方程得，

由得，故所求的点为

8.已知抛物线（为非零常数）的焦点为，点为抛物线上一个动点，过点且与抛物线相切的直线记为．

（1）求的坐标；

（2）当点在何处时，点到直线的距离最小？

解：

（1）抛物线方程为

故焦点的坐标为

（2）设

直线的方程是

9.设抛物线（）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点．点C在抛物线的准线上，且BC∥X轴．证明直线AC经过原点O．

证明:

因为抛物线（）的焦点为，所以经过点F的直线AB的方程可设为

，代人抛物线方程得

．

若记，，则是该方程的两个根，所以

．

因为BC∥X轴，且点C在准线上，所以点C的坐标为，

故直线CO的斜率为

即也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O．

10.椭圆上有一点M（-4，）在抛物线（p>0）的准线l上，抛物线的焦点也是椭圆焦点.

（1）求椭圆方程；

（2）若点N在抛物线上，过N作准线l的垂线，垂足为Q距离，求|MN|+|NQ|的最小值.

解：

（1）∵上的点M在抛物线（p>0）的准线l上，抛物线的焦点也是椭圆焦点.

∴c=-4，p=8……①

∵M（-4，）在椭圆上

∴……②

∵……③

∴由①②③解得：

a=5、b=3

∴椭圆为

由p=8得抛物线为

设椭圆焦点为F（4，0），

由椭圆定义得|NQ|=|NF|

∴|MN|+|NQ|≥|MN|+|NF|=|MF|

=，即为所求的最小值.

参考例题：

1、已知抛物线C的一个焦点为F（，0），对应于这个焦点的准线方程为x=-.

（1）写出抛物线C的方程；

（2）过F点的直线与曲线C交于A、B两点，O点为坐标原点，求△AOB重心G的轨迹方程；

（3）点P是抛物线C上的动点，过点P作圆（x-3）2+y2=2的切线，切点分别是M，N.当P点在何处时，|MN|的值最小？

求出|MN|的最小值.

解：

（1）抛物线方程为：

y2=2x.（4分）

（2）①当直线不垂直于x轴时，设方程为y=k（x-），代入y2=2x，

得：

k2x2-（k2+2）x+.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，y1+y2=k（x1+x2-1）=.

设△AOB的重心为G（x，y）则，

消去k得y2=为所求，（6分）

②当直线垂直于x轴时，A（，1），B（，-1），（8分）

△AOB的重心G（，0）也满足上述方程.

综合①②得，所求的轨迹方程为y2=，（9分）

（3）设已知圆的圆心为Q（3，0），半径r=，

根据圆的性质有：

|MN|=2.（11分）

当|PQ|2最小时，|MN|取最小值，

设P点坐标为（x0，y0），则y=2x0.

|PQ|2=（x0-3）2+y=x-4x0+9=（x0-2）2+5，

∴当x0=2，y0=±2时，|PQ|2取最小值5，

故当P点坐标为（2，±2）时，|MN|取最小值.

抛物线专题练习

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．如果抛物线y2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为 （）

A．（1,0） B．（2,0） C．（3,0） D．（－1,0）

2．圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 （ ）

A．x2+y2-x-2y-=0 B．x2+y2+x-2y+1=0

C．x2+y2-x-2y+1=0 D．x2+y2-x-2y+=0

3．抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是 （）

A．（1，1） B．（） C． D．（2，4）

4．一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m，则水面宽为（）

A．m B．2m C．4.5m D．9m

5．平面内过点A（-2，0），且与直线x=2相切的动圆圆心的轨迹方程是 （）

A．y2=－2x B．y2=－4x C．y2=－8x D．y2=－16x

6．抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点（-5，m）到焦点距离是6，则抛物线的方程是 （）

A．y2=-2x B．y2=-4x

C．y2=2x D．y2=-4x或y2=-36x

7．过抛物线y2=4x的焦点作直线，交抛物线于A（x1,y1），B（x2,y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|= （）

A．8 B．10 C．6 D．4

8．把与抛物线y2=4x关于原点对称的曲线按向量a平移，所得的曲线的方程是（）

A． B．

C． D．

9．过点M（2，4）作